Как быстро вычислить минимальную сумму

[MGM]

Задача формулируется предельно просто и чем-то напоминает вычисление дискриминанта.
Есть матрица с положительно определёнными элементами:
$A = a_{n,m} $
$a_{n,m} \ge 0$ и $m \ge n$
Требуется вычислить минимальную сумму:
$\Delta = \mathop {\min }\limits_{p\left( {\alpha _n ,m} \right)} \left\{ {\sum\limits_{i = 1}^n {a_{i,\alpha _i } } } \right\}$
Где минимизация ведётся по всевозможным перестановкам:
$p\left( {\alpha _n ,m} \right) = \alpha _1 ,\alpha _2 ,...,\alpha _n$
для
$\alpha _n \in \left\{ {1,2,...,m} \right\}$ и $\alpha _k \ne \alpha _l $
Так как число перестоновок равно
$\left| {p\left( {\alpha _n ,m} \right)} \right| = \frac{{m!}}{{\left( {m - n} \right)!}}$
то прямой поиск минимума для больших матриц - задача экспоненциальной сложности,
и у меня вопрос, как найти минимум с полиномиальным числом операций.
Наверняка существуют алгоритмы типа метода Гаусса для вычисления дискриминантов.

[Евгений Машеров]

Это у Вас "Задача о назначении".
Решаема, например "Венгерским методом" (сложность кубическая).
Описан в учебниках по оптимизации и матпрограммированию.

[MGM]

Евгений Машеров в сообщении #402258 писал(а):

Это у Вас "Задача о назначении".
Решаема, например "Венгерским методом" (сложность кубическая).
Описан в учебниках по оптимизации и матпрограммированию.

Спасибо за ссылку.
А задача точно не NP-hard?
Ибо сильно похожа на транспортную задачу.
PS Действительно О($n^3$)

[Евгений Машеров]

Да, это частный случай транспортной задачи. Особенность в том, что в оптимальном решении не n+m-1 ненулевых "перевозок", а ровно n, так что метод потенциалов трудноприменим.
Но транспортная задача частный случай ЛП, а оно полиномиально.