Inequality(1)

[man111]

(1) If $0<x,y,z<1$ and $\sqrt{\frac{1-x}{yz}}+\sqrt{\frac{1-y}{zx}}+\sqrt{\frac{1-z}{xy}}=2$.Then find Max. value of $xyz.$

[ShMaxG]

$9/16$

[man111]

Yes I have got the same answer.

Here is my process.......
Rearranging the expression, We Get

$\frac{1}{\sqrt{xyz}}\left(\sqrt{x-x^2}+\sqrt{y-y^2}+\sqrt{z-z^2}\right)=2$

$2\sqrt{xyz}=\left(\sqrt{x-x^2}+\sqrt{y-y^2}+\sqrt{z-z^2}\right)\leq \frac{3}{2}$

$2\sqrt{xyz}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow xyz\leq \frac{9}{16}$

Is it Right.......

[ShMaxG]

man111
Да, я решал так же.

[man111]

Thanks shMaxg.

[mihiv]

А ведь максимальное значение $xyz$ не найдено,т.к. максимальное значение правой части этого выражения

man111 в сообщении #402229 писал(а):

$2\sqrt{xyz}=\left(\sqrt{x-x^2}+\sqrt{y-y^2}+\sqrt{z-z^2}\right)\leq \frac{3}{2}$

достигается при $x=y=z=\frac 12$ и не равно левой части при тех же $x,y,z.$

[ShMaxG]

mihiv
И правда
Так доказано что максимум произведения не превосходит $9/16$. Максимум правой части равен $3/2$ и достигается только при $x=y=z=\frac{1}{2}$. Но тогда не выполнена связь между левой и правой частью. Это значит, что максимум произведения на самом деле меньше $9/16$.

-- Чт янв 20, 2011 20:16:08 --

Вторая попытка: $27/64$ при $x=y=z=3/4$

[man111]

I also have a same confusion......
Shmaxg can you explain your 2-nd attemp.

[ShMaxG]

Задача условной оптимизации:
$\[\left\{ \begin{gathered} f = 2\sqrt {xyz} \to \max \hfill \\ \sqrt {x - {x^2}} + \sqrt {y - {y^2}} + \sqrt {z - {z^2}} = 2\sqrt {xyz} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

$\[\begin{gathered} L = 2\sqrt {xyz} - \lambda \left( {\sqrt {x - {x^2}} + \sqrt {y - {y^2}} + \sqrt {z - {z^2}} - 2\sqrt {xyz} } \right) \hfill \\ \frac{{\partial L}} {{\partial x}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {yz} }} {{\sqrt x }} - \lambda \frac{{1 - 2x}} {{2\sqrt {x - {x^2}} }} + 2\lambda \frac{{\sqrt {yz} }} {{\sqrt x }} = 0 \Leftrightarrow \frac{{1 - 2x}} {{2\sqrt {1 - x} }}\sqrt x = \frac{{f + 2\lambda f}} {{2\lambda }} \hfill \\ \end{gathered} \]$

Аналогично для производных по другим переменным. Далее я замечаю, что функция $\[h\left( w \right) = \frac{{1 - 2w}} {{2\sqrt {1 - w} }}\sqrt w \]$ монотонна при $\[w \geqslant \frac{1}{2}\]$. Следовательно, $\[\frac{{1 - 2x}} {{2\sqrt {1 - x} }}\sqrt x = \frac{{1 - 2y}} {{2\sqrt {1 - y} }}\sqrt y = \frac{{1 - 2z}} {{2\sqrt {1 - z} }}\sqrt z \Leftrightarrow x = y = z\]$.

Далее, пользуясь условием-ограничением $\[{\sqrt {x - {x^2}} + \sqrt {y - {y^2}} + \sqrt {z - {z^2}} - 2\sqrt {xyz} }\]$ получаю, что на множестве $\[W = \left\{ {\left( {x,y,z} \right)|x,y,z \in \left[ {\frac{1} {2},1} \right)} \right\}\]$ имеем стационарную точку Лагранжа $x=y=z=3/4$.

На этом строгость заканчивается. Дальше я хотел сослаться на верхнюю выпуклость функции $L$, что означало бы, что найденная стационарная точка есть точка максимума, более того, это точка глобального максимума, так что другие случае на координаты рассматривать не приходится. Но никакого док-ва выпуклости у меня к сожалению нет...

[Sasha2]

Действительно, по AM-GM нетрудно показать, что $x^2y^2z^2 \le \frac{3^6}{2^6}(1-x)(1-y)(1-z)$.
Осталось решить уравнения $x^2=\frac{9}{4}(1-x), y^2=\frac{9}{4}(1-y), z^2=\frac{9}{4}(1-z)$,
что дает $x=y=z=\frac{3}{4}$, ну и $xyz=\frac{27}{64}$.
При этом данные значения удовлетворяют условию задачи.

[arqady]

man111 в сообщении #402177 писал(а):

(1) If $0<x,y,z<1$ and $\sqrt{\frac{1-x}{yz}}+\sqrt{\frac{1-y}{zx}}+\sqrt{\frac{1-z}{xy}}=2$.Then find Max. value of $xyz.$

$4xyz=\left(\sum\limits_{cyc}\sqrt{x(1-x)}\right)^2\leq3\sum\limits_{cyc}(x-x^2)=$
$=3\sum\limits_{cyc}\left(-\frac{9}{16}+\frac{3}{2}x-x^2\right)-\frac{3}{2}(x+y+z)+\frac{81}{16}\right)\leq-\frac{9}{2}\sqrt[3]{xyz}+\frac{81}{16}$.
Значит, $4xyz\leq-\frac{9}{2}\sqrt[3]{xyz}+\frac{81}{16}$, откуда $xyz\leq\frac{27}{64}$.