Теоремы (обратные и противоположные)

[Marina]

Мне кажется,что в данном примере 2 противоположные теоремы(прямая и обратная)-верны(истинны),а прямая и обратная-неверны(ложны).

[ewert]

Неправильно. Это просто не может быть правильно потому, например, что обратная теорема эквивалентна противоположной к прямой.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Marina в сообщении #307214 писал(а):

Зачем такие задачи нужны?

Значит, вы ещё не достигли нужного уровня формализованности!

Marina в сообщении #307249 писал(а):

Противоположная обратной: если четырёхугольник не является прямоугольником, то в этом прямоугольнике нет двух прямых противоположных углов?

четырёхугольнике, наверно?

[Marina]

Я вас правильно поняла:если неверна прямая,то неверна и противоположная ей;а обратная и противоположна обратной- верны?

[Maslov]

Marina в сообщении #307330 писал(а):

Я вас правильно поняла:если неверна прямая,то неверна и противоположная ей;а обратная и противоположна обратной- верны?

Нет, неправильно. Может быть не верна ни одна из теорем.

Например:
Прямая: $(x = 1) \Rightarrow (x^2 = 4)$
Обратная: $(x^2 = 4) \Rightarrow (x = 1)$
Противоположная: $(x \neq 1) \Rightarrow (x^2 \neq 4)$
Обратная к противоположной: $(x^2 \neq 4) \Rightarrow (x \neq 1)$
Противоположная к обратной: $(x^2 \neq 4) \Rightarrow (x \neq 1)$

Можно сказать только, что
1. Прямая, противоположная к обратной и обратная к противоположной верны одновременно (все верны или все не верны)
2. Обратная и противоположная верны одновременно.

[arseniiv]

Marina в сообщении #307330 писал(а):

Я вас правильно поняла:если неверна прямая,то неверна и противоположная ей <...> ?

Неа. Вы их неправильно поняли. Смотрите, всё просто:

$$A \to B \sim \neg A \vee B \sim \neg A \vee \neg \neg B \sim \neg B \to \neg A$$

Прямая эквивалентна противоположной обратной. Противоположная прямой, значит, эквивалентна противоположной противоположной обратной, т. е., обратной.

[Marina]

Прочитав ещё раз все теоремы, почему-то решила, что все они неверны. Права ли я?

[Maslov]

Marina в сообщении #307348 писал(а):

рочитав ещё раз все теоремы, почему-то решила, что все они неверны. Права ли я?

Если Вы про четырехугольники, то не правы.
Ведь у прямоугольника противоположные углы -- прямые, значит обратная (а, следовательно, и противоположная) верны.

[Marina]

СПАСИБО!!!!

[Marina]

Дана теорема: равные углы, вписанные в одну окружность, опираются на равные хорды (верная);
Обратная ей, мне кажется, будет такая: если хорды одной окружности равны, то равны и вписанные углы, которые опираются на эти хорды;
Противоположная прямой: если углы, вписанные в одну окружность, неравны, то неравны и хорды, на которые они опираются;
А противоположная обратной: если хорды одной окружности неравны, то неравны и вписанные углы, которые опираются на эти хорды;
Подскажите,пожалуйста, есть ли здесь ошибки.

[Maslov]

По-моему, ошибок нет.

[Marina]

Но в этом случае все теоремы (прямая и противоположная обратной; обратная и противоположная) верны? Или я опять ...

[Maslov]

Все теоремы верны. И такие чудеса тоже встречаются.

В частности, таким свойством обладают теоремы с формулировкой вида "Для того, чтобы ..., необходимо и достаточно, чтобы ..."
Например, "для того, чтобы вписанные в одну окружность углы были равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны хорды, на которые они опираются".

[Aleksandrito]

Вообще - то четырёхугольник с двумя противоположными прямыми углами является прямоугольником.
Так как из равенства противоположных углов следует равенства двух других противоположных углов,
А из равенства углов 90 градусам (прямые углы), следует равенство двух других противоположных углов 90 градусам
И необходимо и достаточно приходим к выводу что четырёхугольник прямоугольный весь.
(а не какой - нибудь один угол или два смежных угла);

[gris]