Неравенство

[Rubik]

Докажите неравенство $\left(\frac{a}{b+c}\right)^2+\left(\frac{b}{c+a}\right)^2+\left(\frac{c}{a+b}\right)^2\geqslant\frac34$. Неравенство кажется мне более-менее стандатным, но как его доказывать не знаю.

[DiviSer]

Примените неравенство между средним квдратическим и средним арфметическим

[Rubik]

$\left(\frac{a}{b+c}\right)^2+\left(\frac{b}{c+a}\right)^2+\left(\frac{c}{a+b}\right)^2\geqslant3\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)$. Это имелось в виду? Что-то я не вижу, чем это может помочь.

[arqady]

Rubik в сообщении #401865 писал(а):

Докажите неравенство $\left(\frac{a}{b+c}\right)^2+\left(\frac{b}{c+a}\right)^2+\left(\frac{c}{a+b}\right)^2\geqslant\frac34$. Неравенство кажется мне более-менее стандатным, но как его доказывать не знаю.

Например, так:
$\sum\limits_{cyc}\left(\frac{a}{b+c}\right)^2\geq\sum\limits_{cyc}\frac{a^4}{a^2(b+c)^2}\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum\limits_{cyc}a^2(b+c)^2}=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2+2a^2bc)}$.
То бишь остаётся доказать, что
$2(a^2+b^2+c^2)^2\geq3\sum\limits_{cyc}(a^2b^2+a^2bc)$, которое верно:

$2(a^2+b^2+c^2)^2-3\sum\limits_{cyc}(a^2b^2+a^2bc)=\sum\limits_{cyc}(2a^4+a^2b^2-3a^2bc)=$
$=\sum\limits_{cyc}(2a^4-2a^2b^2+3a^2b^2-3a^2bc)=\sum\limits_{cyc}(a-b)^2\left((a+b)^2+1.5c^2\right)\geq0$.
Проверка $abc=0$ тривиальна.
Вы, наверное, имели в виду, что $(a+b)(a+c)(b+c)\neq0$.

[DiviSer]

$\left(\frac{a}{b+c}\right)^2+\left(\frac{b}{c+a}\right)^2+\left(\frac{c}{a+b}\right)^2\ge \frac{(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2}{3} \ge \frac{(\frac{3}{2})^2}{3}=3/4 $
Так как: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \ge 3/2$ :
$\frac{(a+b)+(a+c)}{b+c}+\frac{(b+c)+(b+a)}{c+a}+\frac{(c+a)+(c+b)}{a+b} \ge 6$
а послденее легко док-ся с помощью СА-СГ

[arqady]

DiviSer в сообщении #401908 писал(а):

Так как: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \ge 3/2$

Вы уверены, что оно верно?

[DiviSer]

arqady в сообщении #401909 писал(а):

DiviSer в сообщении #401908 писал(а):

Так как: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \ge 3/2$

Вы уверены, что оно верно?

А вы сомневаетесь?))

[Edward_Tur]

DiviSer в сообщении #401913 писал(а):

arqady в сообщении #401909 писал(а):

DiviSer в сообщении #401908 писал(а):

Так как: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \ge 3/2$

Вы уверены, что оно верно?

А вы сомневаетесь?))

$a=1,b=-1.1,c=0$

[arqady]

DiviSer в сообщении #401913 писал(а):

arqady в сообщении #401909 писал(а):

DiviSer в сообщении #401908 писал(а):

Так как: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \ge 3/2$

Вы уверены, что оно верно?

А вы сомневаетесь?))

Проверьте $c>0$ и $a+b\rightarrow0^-$.

[DiviSer]

Edward_Tur в сообщении #401920 писал(а):

$a=1,b=-1.1,c=0$

$a,b,c>0$ можно и нужно предположить в начале, иначе ослу понятно что при отрицательных верно обратное неравенство.

[arqady]

DiviSer в сообщении #401928 писал(а):

$a,b,c>0$ можно и нужно предположить в начале, иначе ослу понятно что при отрицательных верно обратное неравенство.

По-моему, просили доказать другое неравенство. И опять же, Ваше утверждение снова неверно.
Проверьте $a=b=c=-1$.

[DiviSer]

arqady в сообщении #401922 писал(а):

Проверьте $c>0$ и $a+b\rightarrow0^-$.

$\left(\frac{a}{b+c}\right)^2+\left(\frac{b}{c+a}\right)^2+\left(\frac{c}{a+b}\right)^2\ge \left(\frac{|a|}{|b|+|c|}\right)^2+\left(\frac{|b|}{|c|+|a|}\right)^2+\left(\frac{|c|}{|a|+|b|}\right)^2\geqslant\frac34

так лучше видно?

-- Ср янв 19, 2011 22:58:54 --

arqady в сообщении #401929 писал(а):

DiviSer в сообщении #401928 писал(а):

$a,b,c>0$ можно и нужно предположить в начале, иначе ослу понятно что при отрицательных верно обратное неравенство.

По-моему, просили доказать другое неравенство. И опять же, Ваше утверждение снова неверно.
Проверьте $a=b=c=-1$.

ах да я там неправ)) факт в том что там для положительных достаточно было.

[Rubik]

arqady в сообщении #401899 писал(а):

Вы, наверное, имели в виду, что $(a+b)(a+c)(b+c)\neq0$.

Конечно, иначе неравенство смысла не имеет.

Rubik в сообщении #401895 писал(а):

$\left(\frac{a}{b+c}\right)^2+\left(\frac{b}{c+a}\right)^2+\left(\frac{c}{a+b}\right)^2\geqslant3\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)$

Написано в предположении, что $a,b,c>0$. Про то, что они могут быть отрицательными, я благополучно забыл. (Да ещё и сделал ошибку, не возведя в квадрат выражение в скобках).

[Edward_Tur]

DiviSer в сообщении #401935 писал(а):

ах да я там неправ)) факт в том что там для положительных достаточно было.

Теперь и ослу понятно

[DiviSer]

Edward_Tur в сообщении #401945 писал(а):

DiviSer в сообщении #401935 писал(а):

ах да я там неправ)) факт в том что там для положительных достаточно было.

Теперь и ослу понятно

поздравляю!!!)))