Вложение пространств

[AlexDem]

Надеюсь, не ошибся с названием темы. Имелось ввиду следующее.

Рассмотрим верхнюю полуокружность единичного радиуса, описанную вокруг центра координат, и прямую $y = 1$. С точки зрения этой прямой полуокружность является полуокружностью $y = e^{ix} - 1$, где $x\in (0; \pi)$ - если провести нормали к прямой, точки пересечения с полуокружностью и будут задаваться этим уравнением.

Зададимся вопросом - чем же будет являться прямая по отношению к полуокружности? Так же проведем нормали, только уже к полуокружности, и посмотрим на точки пересечения с прямой. Если распрямить полуокружность, прижав все ее точки к оси, то исходная прямая превратится в кривую, описываемую уравнением $y = 1 / sin(x) - 1$, где $x\in (0; \pi)$ (вроде бы так). По виду она похожа на 2 гиперболы.

Теперь рассмотрим тор $T^2$ в 3-мерном сферическом пространстве $S^3$. Будет ли это вложение эквивалентно вложению бесконечно длинного циллиндра в "плоский тор" - трехмерное пространство с отождествленными гранями? Все очень похоже - в том и другом случае поверхность идет по геодезическим, окружность в сечении пересекает несколько геодезических и т.п. Интересно было бы почитать что-нибудь про такие эквивалентности, если, конечно, не слишком все сложно...

И какой раздел математики занимается такими вопросами?