поточечная и равномерная сходимость последов. функций к нулю

[Bridgeport]

Требуется доказать поточечную сходимость на [0, $\infty$)
$f_n(x)=\sin(\sqrt{x+4n^2\pi^2})\rightarrow 0$

А затем исследовать равномерную сходимость

[gris]

Тут лучше сразу доказывать в терминах эпсилон-дельта, чтобы и равномерную сходимость захватить. А просто поточечную - через вынос из-под корня чего надо и эквивалентность.

[ewert]

Равномерной, естественно, не будет и не может быть в принципе; даже и постановка вопроса как-то странна. Поточечная, конечно, будет; да, из-за эквивалентностей.

--------------------------------------
(и ещё любопытно, зачем четыре-то, собственно)

[Bridgeport]

Ясно, надо все разделить на $4n^2\pi^2 $ и вынести из под корня, а что имеется ввиду под эквивалентностями?

[gris]

Правильно. Только делить не всё, а то, что за синусом. И под корнем остаётся пригодная функуция.

[Gortaur]

Bridgeport
Знаете как доказать отсутствие равномерной сходимости?

[Bridgeport]

Я думаю, что стоит взять $x=2.25n^2\pi^2$, тогда получим $\sin(2.5n\pi)$, на нечетных n он должен попадать в 1.

[gris]

Надо бы поаккуратнее это сказать, а то создаётся впечатление, что Вы не то имели в виду, что наверняка имели. Но всё правильно.
Ещё я не понимаю, почему вопрос о равномерной сходимости не может стоять в принципе. Конечно, здесь это почти видно, но тем не менее.

[Bridgeport]

Аккуратнее чем через $\epsilon=1/2$ и по отрицанию определения равномерной сходимости не скажешь.

Да, верно, надо поаккуратнее. Спасибо!