Теория вероятностей. Студенты и дни рождения

[NatNiM]

Здравствуйте.

Вот такая задача:
В вузе обучаются 3650 студентов. Вероятность того, что день рождения студента приходится на определенный день года, равна 1/365. Найти вероятность того, что по крайней мере, 3 студента имеют один и тот же день рождения.

При моем решении получается вот так:
Вероятность, что 10 студентов из 3650 имеют один день рождения 10/365.
По крайней мере, трое студентов будут иметь вероятность $\[ \frac{{10}}{3} \cdot \frac{{10}}{{365}} = \frac{{100}}{{1095}} \] $.

Но а если на пальцах, то получается, что вероятность равна 1, т.к. студентов так много, что все равно будет получатся 1 день рождения у троих.

Подскажите, пожалуйста, как правильно?
Спасибо.

[Gortaur]

Вообще, ответ это $1-p$ где $p$ - вероятность того, что любые 3 студента будут иметь дни рождения в разные дни. Вероятность того, что три данных студента имеют дни рождения в разные дни равна

$$ \frac{364\cdot 363}{365^2} $$

потому что первый может иметь ДР в любой день, второй - в 364 оставшихся, 3ий - в 363 оставшихся. Далее нужно выбрать 3х студентов из 3650 - это будет $C^3_{3650}$ (или что там сверху-снизу...), деленное на общее число вариантов (посчитайте сами). Потом так как выбор студентов и их дни рождения независимы, умножьте результат на вероятность того, что три данных студента имеют дни рождения в разные дни и будет Вам $p$.

[Maslov]

А по-моему, если 3650 студентов рассадить по 365 клеткам, то хотя бы в одной из клеток окажется не менее 10 студентов.
Называется "принцип Дирихле".

[gris]

Конечно, неплохо учесть ещё и 29 февраля . Но в данном случае студентов действительно много, и тут скорее принцип Дирихле работает, а не теория вероятностей. Вероятность того, что найдутся 3 студента, у которых одинаковый день рождения, равна 1. А вот с 3 студентами, имеющими определённый день рождения, например, 8 марта, ситуация другая. Не напутали ли Вы с условием?

Maslov опередил с Дирихле, но я бы не стал студентов по клеткам-то. Давайте по аудиториям!

[NatNiM]

К сожалению, условие именно такое

[gris]

ну почему же к сожалению. Меньше возни.
Просто я согласен с Gortaur — такие условия задач крайне редко предлагают.
Но вероятность достоверного события, тем не менее, равна 1.

Кстати, Ваши рассуждения о 10 студентах совершенно не верны.

[NatNiM]

Ясно, спасибо всем!