Помогите с вычислением предела

[Minotaur]

Приветствую!

В одной методичке Харьковского политеха обнаружены три схожих предела:
1) $\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{2x^3} + 4}}{{5 + {x^2} + {x^3}}}} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}}\]$
2) $\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{x^3} + 4}}{{5 + {x^2} + {x^3}}}} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}}\]$
3) $\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{x^3} + 4}}{{5 + {x^2} + {2x^3}}}} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}}\]$
Первый может быть решен логарифмированием и равен $\infty$. Последний - делением числителя и знаменателя на $\[{x^3}\]$ и равен 0.
А вот второй заставил задуматься... Пытался придумать, как подогнать под "замечательный" предел - пока не очень успешно. Все, до чего дошел:
$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{x^3} + 4}}{{5 + {x^2} + {x^3}}}} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{1}{{1 + \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} + 4}}}}} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}}\]$
Глядя на то, что получилось, есть и ответ - 0. Но это заключение основывается на том, что "знаменатель при $\[x \to \infty \]$ немнооооооожко больше числителя", и такой ответ не страивает. Нужно строгое математическое решение. Что бы сделать с ним дальше? Спасибо!

[gris]

Добавить и вычесть единичку. А потом показатель степени умножить и разделить на выражение в скобках минус один. И у Вас выделится $e$.
Вообще если $A\to 1$, а $B\to \infty$, то $A^B\to e^{(A-1)B}$
Если предел показателя существует.

[Minotaur]

Спасибо, сделал:
$... = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{ - {x^2} - 4}}{{{x^3} + {x^2} + 5}} \cdot \frac{{{x^3} + 4x}}{{7x + 2}}} \right)}} = {e^{ - \infty }} = 0$

[Gortaur]

Есть сомнения - слишком лихо Вы проэкспонировали, да и предел показателя бесконечный. Корректны ли были переходы (то, что ответ правильный еще не говорит о правильности решения - в пределах вообще 4 ответа - 0,1,$\mathrm{e}$,$\infty$ - так что ошибиться не очень сложно)

[Minotaur]

Gortaur в сообщении #401336 писал(а):

Есть сомнения - слишком лихо Вы проэкспонировали, да и предел показателя бесконечный. Корректны ли были переходы (то, что ответ правильный еще не говорит о правильности решения - в пределах вообще 4 ответа - 0,1,$\mathrm{e}$,$\infty$ - так что ошибиться не очень сложно)

Это только так кажется из-за того, что нельзя публиковать полные решения :) А в бесконечности показателя не вижу ничего аномального. Знак - минус, степень числителя больше, чем знаменателя.

[gris]

Minotaur, автор темы, то есть топикстартер, вполне может опубликовать полное решение своей задачи. Это даже и приветствуется.
Запрет публикации готовых решений прописан в Уложении для "тех, кто оказывает помощь в решении задач"
Так что не стесняйтесь.

[Minotaur]

$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{x^3} + 4}}{{5 + {x^2} + {x^3}}}} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{{x^3} + 4}}{{5 + {x^2} + {x^3}}} - 1} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}} = \]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{ - {x^2} - 4}}{{{x^3} + {x^2} + 5}}} \right)^{\frac{{{x^3} + 4x}}{{7x + 2}}}} = $
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{{\frac{{{x^3} + {x^2} + 5}}{{ - {x^2} - 4}}}}} \right)^{\frac{{{x^3} + {x^2} + 5}}{{ - {x^2} - 4}} \cdot \frac{{ - {x^2} - 4}}{{{x^3} + {x^2} + 5}} \cdot \frac{{{x^3} + 4x}}{{7x + 2}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{ - {x^2} - 4}}{{{x^3} + {x^2} + 5}} \cdot \frac{{{x^3} + 4x}}{{7x + 2}}} \right)}} = {e^{ - \infty }} = 0$