Приветствую!
В одной методичке Харьковского политеха обнаружены три схожих предела:
1)
![$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{2x^3} + 4}}{{5 + {x^2} + {x^3}}}} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/9/ca99d0d6f0b03f9b3217223ae6f240cd82.png "$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{2x^3} + 4}}{{5 + {x^2} + {x^3}}}} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}}\]$")
2)
![$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{x^3} + 4}}{{5 + {x^2} + {x^3}}}} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/7/bd729b558f425d4cbb8920547c1f847082.png "$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{x^3} + 4}}{{5 + {x^2} + {x^3}}}} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}}\]$")
3)
![$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{x^3} + 4}}{{5 + {x^2} + {2x^3}}}} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/a/41a7f00ca1055279b0e93bf8d9ed097382.png "$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{x^3} + 4}}{{5 + {x^2} + {2x^3}}}} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}}\]$")
Первый может быть решен логарифмированием и равен
. Последний - делением числителя и знаменателя на
![$\[{x^3}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/7/cb711855d4ab8006c236237b3a2bad2182.png "$\[{x^3}\]$")
и равен 0.
А вот второй заставил задуматься... Пытался придумать, как подогнать под "замечательный" предел - пока не очень успешно. Все, до чего дошел:
![$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{x^3} + 4}}{{5 + {x^2} + {x^3}}}} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{1}{{1 + \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} + 4}}}}} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/2/ee2618c32b90e90ce408d9090060c4c782.png "$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{x^3} + 4}}{{5 + {x^2} + {x^3}}}} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{1}{{1 + \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} + 4}}}}} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}}\]$")
Глядя на то, что получилось, есть и ответ - 0. Но это заключение основывается на том, что "знаменатель при
![$\[x \to \infty \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/5/dc52795e6e3e414400087d30e419274e82.png "$\[x \to \infty \]$")
немнооооооожко больше числителя", и такой ответ не страивает. Нужно строгое математическое решение. Что бы сделать с ним дальше? Спасибо!
17.01.2011, 20:11 
. 
, а 
, то 
,
![$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{x^3} + 4}}{{5 + {x^2} + {x^3}}}} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{{x^3} + 4}}{{5 + {x^2} + {x^3}}} - 1} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}} = \]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{ - {x^2} - 4}}{{{x^3} + {x^2} + 5}}} \right)^{\frac{{{x^3} + 4x}}{{7x + 2}}}} = $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/3/9136098fd1b402baa55c8a8cb1aac2a482.png "$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{x^3} + 4}}{{5 + {x^2} + {x^3}}}} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{{x^3} + 4}}{{5 + {x^2} + {x^3}}} - 1} \right)^{\frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)x}}{{7x + 2}}}} = \]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{ - {x^2} - 4}}{{{x^3} + {x^2} + 5}}} \right)^{\frac{{{x^3} + 4x}}{{7x + 2}}}} = $")
