Логарифмический ряд

[max.is.max]

По какому признаку рассматривать сходимость ряда?
$a_n = \frac{\ln 2\cdot \ln 3\cdots \ln n} {\ln(a+1)\cdots \ln(a+n)}$
или при каком а сходится?

[ewert]

А где, собственно, ряд?...

[max.is.max]

упс.
ряд состоит из $a_n$

[ewert]

$\dfrac{\ln k}{\ln(k+\alpha)}=\dfrac{\ln k}{\ln k+\ln(1+\frac{\alpha}{k})}\sim\dfrac{1}{1+\frac{\alpha}{k\,\ln k}}$

(все номера считаем большими). Далее,

$\ln a_n=\sum\limits_{k=2}^n\ln\dfrac{\ln k}{\ln(k+\alpha)}\sim\sum\limits_{k=2}^n\ln\dfrac{1}{1+\frac{\alpha}{k\,\ln k}}\sim\,\ldots$

(ещё раз по Тейлору, а потом оценить полученную сумму как интегральную). Окончательно: $a_n\sim\dfrac{\mathrm{const}}{\ln^{\alpha}n}$ или, во всяком случае, двусторонне оценивается через какие-нибудь степени логарифма, близкие к $\alpha$. Этого достаточно, чтобы сделать выводы насчёт сходимости.

[sup]

Наверное предполагается, что $a>0$. Для целых $a$ куча логарифмов сокращается. Для нецелых $a$ применяем тривиальную оценку $\ln (a+k) < \ln ([a]+1+k)$, а уже потом сокращаем. В результате оценка снизу

$$a_n >C/\ln^{[a]+1}(a+1+n)$$