Помогите с неравенством

[Alexei0985]

$(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 >= (a/b) + (b/c) + (c/a) $
ДОказать неравенство

-- Пн янв 17, 2011 12:49:20 --

Если сделать замену получится:
$x^2+y^2+1/(x*y)^2 >= x+y+1/(x*y)$
Что дальше делать?

[ewert]

Эквивалентное утверждение: $x^2+y^2+z^2\geqslant x+y+z$ при условии, что $xyz=1$ (все числа положительны).

Первое неравенство задаёт внешность сферы с центром в точке $\big({1\over2},{1\over2},{1\over2}\big)$ и касающейся плоскости $x+y+z=3$. Достаточно доказать, что эта плоскость лежит ниже поверхности $xyz=1$. Т.е. что из уравнения $xyz=1$ следует неравенство $x+y+z\geqslant3$. Ну это просто неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим.

[MrDindows]

Помоему так легче будет: (без сфер и плоскостей)
Необходимо доказать:
$\frac{a^2}{b^2}+1+\frac{b^2}{c^2}+1+\frac{c^2}{a^2}+1 \ge \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3$
Для левой части применяем 3 раза неравенство между средними:
$\frac{a^2}{b^2}+1+\frac{b^2}{c^2}+1+\frac{c^2}{a^2}+1 \ge 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$
И ещё раз:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge 3$

Вот и всё)

[Gortaur]

Я не понял что из чего у Вас следует, Вы уверены что порядок корректен?

[TOTAL]

Gortaur в сообщении #401273 писал(а):

Я не понял что из чего у Вас следует, Вы уверены что порядок корректен?

Всё верно. Можно сложить два неравенства (для положительных чисел):
$\left(\frac{a}{b}-1\right)^2+\left(\frac{b}{c}-1\right)^2+\left(\frac{c}{a}-1\right)^2 \ge 0$
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge 3$