Определение типа уравнения.

[centra]

Подскажите, пожалуйста, как можно определить тип уранения $U(x,t)_{tt}=U(x,t)_{txxx}$ . Данное уравнение является уравнением в частных производных четвертого порядка, а не второго. И алгоритм работы с ним мне не ясен.

[ewert]

Ну по иксам-то оно два раза интегрируется явно, после чего оказывается гиперболическим.

[centra]

Не очень понятно как левую часть интегрировать по иксам...

[ewert]

А, прошу прощения, зазевался чего-то. Ну по времени проинтегрируйте, всё проще выйдет.

[centra]

$U(x,t)_{t} = U(x,t)_{xxx}+C(x) $
а дальше что делать?

[centra]

Я пыталась найти что-нибудь подобное в книге по уравнениям математической физики Самарского, но там ничего похожего не разбирается. Собстно вопрос заключается в том, как привести полученное уравнение третьего порядка к уравнению второго порядка. Дальше я сама, полагаю, разберусь.
Может быть как-то хитро замену надо сделать. Но что-то у меня пока не получается придумать хороший вариант..

[moscwicz]

если Вы напишите какую задачу для этого уравнения Вы рассматриваете, то может появится предмет для обсуждения

[Aleksandrito]

Может быть имеет смысл свести уравнение к уравнению второго порядка ?
Левую часть по $x $ интегрировать не надо в левой части вторая частная производная по $t$.
Вы не пробовали метод Фурье в данном случае, что получится ?
Вообще есть справочник Камке по дифф. ур-ниям в частных производных, сейчас листаю эту книженцию.

-- 16 янв 2011, 17:05 --

У меня получается некоторая неоднозначность, два варианта имею, сейчас думаю какой из них верный:
$1)\ \frac{1}{T}\cdot\frac{ \ddot{T}}{\dot{T}}=\dddot{X};$
$2)\ \frac{ \ddot{T}}{\dot{T}}=\frac{\dddot{X}}{X};$
где:$X=X(x);\T=T(t); U=T\cdotX$
Но в любом случае и первый и второй вариант решаемы, только классифицировать к сожалению не могу.

-- 16 янв 2011, 17:14 --

Всё - таки второй вариант правильный
Вам достаточно решить уравнение :
$\frac{\ddot{T}}{\dot{T}}=\frac{\dddot{X}}{X};$
Метод Фурье вам в помощь. Только одна проблема не вижу у вас краевой задачи, граничных условий, чтобы получить решение в конечном виде.

[ewert]

Aleksandrito в сообщении #400747 писал(а):

Только одна проблема не вижу у вас краевой задачи, граничных условий,

Их и не будет: оператор трёхкратного дифференцирования -- не самосопряжён ни в каком смысле.

[centra]

спасибо большое. буду разбираться.
краевых условий действительно нет. задача состоит в том, чтобы просто определить тип уравнения. оказалось, что совсем не просто...=)

[Aleksandrito]

$U=T \cdot X$ - произведение функций только от независимых переменных соответсвенно.
решение для T - очевидно и просто, решение для X - это решение линейного дифференциального уравнения третьего порядка.
Если не помните найдёте в Э. Камке "Справочник по обыкновенным дифференциалным уравнениям" М., 1976г., 576 стр. Издательство "Наука" Главная редакция физико - математической литературы 117071, Москва, И-71, Ленининский проспект, 15; Перевод с немецкого С.В. Фомина; издание пятое, стереотипное; [ стр. 460;]
В вашем случае коеффициент при функции не равен нулю.

[centra]

спасибо. Вы буквально на какую-то долю секунды предвосхитили мой вопрос поскольку я открыла этот самый справочник, и оказалась в недоумении, по поводу того, что именно читать...

[moscwicz]

ewert в сообщении #400770 писал(а):

Aleksandrito в сообщении #400747 писал(а):

Только одна проблема не вижу у вас краевой задачи, граничных условий,

Их и не будет: оператор трёхкратного дифференцирования -- не самосопряжён ни в каком смысле.

Да, это сурово. А теперь идем изучать начально-краевую задачу для KDV
http://www.math.brown.edu/~holmer/research/kdv.pdf

[Aleksandrito]

ewert в сообщении #400770 писал(а):

Aleksandrito в сообщении #400747 писал(а):

Только одна проблема не вижу у вас краевой задачи, граничных условий,

Их и не будет: оператор трёхкратного дифференцирования -- не самосопряжён ни в каком смысле.

Задача имеет отношение к вариационному исчислению или к квантовой механике ?

[centra]

а не решая, можно как-то определить тип данного уравнения?

задача учебная, и никакого отношения к прикладной математике не имеет.

я перерыла, наверное, половину (если не больше) всех книг, которые сущ-ют по урматам, но не смогла найти классификацию по типам для уравнений выше второго порядка ( написано : "Классификация ЛДУ с большим числом переменных почти аналогична.").на семинарах такое не рассматривалось, а ведь для уравнения второго порядка задача определения типа элементарна и решается в одну строчку. может все таки существет классификация для уравнений четвертого порядка, но я просто не могу ее найти? просто у меня ощущение, что если я принесу преподавателю предложенное решение, то он начнет говорить, что не надо изобретать велосипед, и в назидание даст еще какую-нибудь задачу, чего мне очень бы не хотелось