Норма оператора из L_4 в L_2

[agranom]

Оператор таков: $A:L_4[0, 1]\to L_2[0, 1]$;

$$A(x(t))=\left(\int_0^1s^2x(s)\,ds\right)t^2$$

;
Норма оператора - это

$$\mbox{sup}_{\substack{x(t):\ \| x\|\le 1}}\|Ax\|$$

.

$$\left(\int_0^1s^2x(s)\,ds\right)^2\le \int_0^1s^4\,ds\int_0^1x^2(s)\,ds$$

,

$$\left(\int_0^1x^2(s)\,ds\right)^2\le\int_0^1x^4(s)\,ds\le 1$$

.
Т.е.

$$\int_0^1x^2(s)\,ds \le 1$$

.
Следовательно,

$$\left(\int_0^1s^2x(s)\,ds\right)^2 \le \int_0^1s^4\,ds = \frac{1}{5}$$

.
И

$$\|A\|\le \sqrt{\frac{1}{5}\int_0^1t^4\,dt}=\frac{1}{5}$$

Вроде, эту оценку я не смог улучшить. Теперь если я найду последовательность функций $x_n(t)$ и $L_2[0,1]$ с нормой меньше 1 (т.е.

$$\sqrt[4]{\int_0^1(x_n(t))^4\,dt}\le 1$$

) и

$$\int_0^1s^2x_n(s)\,ds\to \frac{1}{\sqrt 5}\ (n\to \infty)$$

, то $\|Ax_n\|\to \dfrac{1}{5}$.

Но вот здесь я застрял, никак такую последовательность не могу подобрать.
Что можете посоветовать?

[Brukvalub]

Давайте взглянем на Вашу задачу чуть иначе. Оператор А вычисляется так: сначала вычисляется функционал $\int_0^1s^2x(s)\,ds$; затем он умножается на квадрат переменной t. Поэтому норма образа этого оператора каждый раз равна произведению модуля значения функционала на норму функции $t^2$ , то есть на число $\frac{1}{{\sqrt 5 }}$. Но тогда норма оператора будет равна норме функционала, умноженной на
$\frac{1}{{\sqrt 5 }}$. Вам осталось вычислить норму функционала, действующего из пространства $L_4[0, 1]$ по формуле $\int_0^1s^2x(s)\,ds$, и вот здесь я сильно не уверен, что всем у Вас идет как надо, поскольку дальше Вы оцениваете функционал так, словно он действует из $L_2[0, 1]$, а не из $L_4[0, 1]$.

[agranom]

Спасибо за ценное замечание! Используя его:
Известен такой факт: $\forall p\in [1, \infty)$ сопряженное пространство к $l_p$, т.е. $(l_p)^*$ изометрически изоморфно пространству $l_q$, где $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ и для любого $y\in l_q$, задающего функционал $f_y$ на $l_p$ формулой $f_y(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty x_ny_n$, где $x=(x_1,\ldots ,x_n,\ldots )$ и $y=(y_1,\ldots ,y_n,\ldots )$.
Причем $\|f_y\|=\|y\|_q$.

Верно ли аналогичное утверждение для $L_p[0, 1]$?

Тогда задача сильно упрощается, т.к. норма функционала $\|\int_0^1s^2x(s)\,ds\| = \|s^2\|_q$, где $q=\frac{p}{p-1},\ p=4$.

[Brukvalub]

Цитата:

...Верно ли аналогичное утверждение для $L_p[0, 1]$?..

Да, верно. См., например, Данфорд Н., Шварц Дж.Т. — Линейные операторы (том 1) Общая теория. , стр. 310 и далее.

[agranom]

Brukvalub писал(а):

Цитата:

...Верно ли аналогичное утверждение для $L_p[0, 1]$?..

Да, верно. См., например, http://lib.mexmat.ru/books/1819 , стр. 310 и далее.

Спасибо!