обратные тригонометрические функции

[NNDeaz]

Почему в некоторой иностранной литературе вместо $ \arcsin x$ пишут $ \sin^{-1} x$ ведь -1 пишется там, где по идее должна стоять степень. И тогда $ \arcsin x = \frac{1}{\sin x}$. Почему так пишут?

[Tarinal]

а что вас не устраивает?

[Maslov]

NNDeaz в сообщении #397684 писал(а):

Почему в некоторой иностранной литературе вместо $ \arcsin x$ пишут $ \sin^{-1} x$ ведь -1 пишется там, где по идее должна стоять степень.

Потому что функцию, обратную к функции $f$, часто обозначают $f^{-1}$.

[caxap]

NNDeaz в сообщении #397684 писал(а):

И тогда $ \arcsin x = \frac{1}{\sin x}$

По идее $\dfrac{1}{\sin x}$ и вообще $\sin x$ в $n$-ой степени надо писать как $(\sin x)^{-1}$ и $(\sin x)^n$. А $\sin^n x=\sin\sin\cdots\sin x$ -- это $n$-ая итерация $\sin$. Но во второй записи меньше буков, чем в варианте со скобкой, да и используется это гораздо чаще, вот и пишут $\sin^n x$ в смысле степени. Ведь цель мат. обозначений -- уменьшение числа буков.
Но то, что американцы смешивают оба способа не гуд. Наше $\arcsin$ луче.

[NNDeaz]

Maslov в сообщении #397692 писал(а):

NNDeaz в сообщении #397684 писал(а):

Почему в некоторой иностранной литературе вместо $ \arcsin x$ пишут $ \sin^{-1} x$ ведь -1 пишется там, где по идее должна стоять степень.

Потому что функцию, обратную к функции $f$, часто обозначают $f^{-1}$.

Из этого следует, что $arclnx = e^x$ или так нельзя рассуждать?

[caxap]

$\mathrm{arc}$ -- это от слова "дуга" (напр. английского) и применимо только к тригонометрическим функциям (даже с гиперболическими уже по-другому, там $\mathrm{ar}$ (ареа=площадь)). То есть $\arcsin \dfrac 12$ -- это дословно: дуга, которая соответствует синусу $\dfrac 12$.

[NNDeaz]

Извините, что опять поднимаю тему и вообще пишу не по теме.Как обозначить функцию обратную функции $f(x)$ в русскоязычной традиции? Тоесть не $f^{-1}(x)$ как в англоязычной традиции.

[maxmatem]

Цитата:

$f^{-1}(x)$

а так и обозначают! или $\[ \frac{1} {{f(x)}} \]$

[NNDeaz]

Я имел ввиду что -1 это не степень. Например:
$f(x)=a$
Чему равно х?

[caxap]

NNDeaz
Обратная функция к $f$ обозначается как $f^{-1}$. (Кстати, $f(x)$ -- это не функция. а её значение в точке $x$.)

NNDeaz в сообщении #400329 писал(а):

Чему равно х?

$f^{-1}(a)$, если $f^{-1}$ существует (для этого нужно, чтобы $f$ отображала разные точки в разные).

[Gortaur]

Просто по-хорошему, следует писать

$$ (f(x))^{-1} = \frac{1}{f(x)} $$

и так для всех степеней, но у тригонометрических функций сложилось так, что степень пишут перед аргументом, отсюда и путаницы. ИМХО, через арк удобнее обозначать. А вот про гиперболические не знал, что там еще и площадь привязана, кстати как?

[Joker_vD]

Gortaur в сообщении #400376 писал(а):

А вот про гиперболические не знал, что там еще и площадь привязана, кстати как?

Площадь под соответсвующим куском гиперболы.

[caxap]

Gortaur в сообщении #400376 писал(а):

А вот про гиперболические не знал, что там еще и площадь привязана, кстати как?

[Алексей К.]

NNDeaz в сообщении #400309 писал(а):

Как обозначить функцию обратную функции $f(x)$ в русскоязычной традиции? Тоесть не $f^{-1}(x)$ как в англоязычной традиции.

Мне когда-то придумалось $f^{(-1)}(x)$. Или увидел где-то... Есть ещё способ: "пусть $g(x)$ --- функция, обратная к $f(x)$".

Цитата:

Никто не писал(а):

А вот про лемнискатные не знал, что там еще и площадь привязана, кстати как?

Площадь под соответсвующим куском лемнискаты.

[Joker_vD]

Ну хорошо, над куском гиперболы :)