Задача про часы

[Батороев]

TOTAL в сообщении #399767 писал(а):

В задаче спрашивалось не о количестве полных оборотов.

Давайте рассмотрим один полный оборот в предоженных выше часах.
Отметим на циферблате точки, в которых секундная стрелка догнала минутную на обычных часах. Получится 59 делений, равномерно распределенных на циферблате "новых" часов.
Время, которое затратила вторая стрелка на путь 1) - от нуля до точки и 2) - от точки до нуля - есть функция от соответствующего расстояния.
Т.к. точки расположены симметрично относительно вертикальной оси часов, то и суммы времени, затраченные второй стрелкой на путь 1) и путь 2), будут равны.
И такая картина за 12 рассматриваемых часов повторилась 11 раз.

p.s. Симметричность точек обусловлена равномерностью движения и первой, и второй стрелок.

[TOTAL]

Батороев в сообщении #399805 писал(а):

И такая картина за 12 рассматриваемых часов повторилась 11 раз.

Картина не повторялась. Первый раз картина повторилась ровно через 12 часов.

[Батороев]

Согласен, что картина на обычных часах повторится через 12 часов, а вот на предлагавшихся мной - 11 раз.

-- 14 янв 2011 17:00 --

У-п-с-с!!! Мои ответы в двух предшествующих сообщениях не верны.
Беру паузу!

[TOTAL]

Здесь совершенно не важны конкретные скорости стрелок. Пусть три стрелки движутся с произвольными различными постоянными скоростями. Если в начальный и конечный моменты все три стрелки совпадали, то суммарный поток жидкости равен нулю. Ведь любое совпадение стрелок переключает насос, а времена этих совпадений симметричны относительно середины рассматриваемого временного интервала.

[Батороев]

Зря я замудрил с псевдочасами.

Секундная стрелка за 12 часов окажется над часовой $60\cdot 12-1=719$ раз,
над минутной $60\cdot12-12=708$ раз.
Отмечаем на циферблате часов (на этот раз, обычных) эти точки равномерно. Получаем картину, симметричную относительно вертикали.

[TOTAL]

Батороев в сообщении #399835 писал(а):

Зря я замудрил с псевдочасами.

Секундная стрелка за 12 часов окажется над часовой $60\cdot 12-1=719$ раз,
над минутной $60\cdot12-12=708$ раз.
Отмечаем на циферблате часов (на этот раз, обычных) эти точки равномерно. Получаем картину, симметричную относительно вертикали.

Этого недостаточно. Насос переключается также в момент совпадения минутной и часовой стрелок . Переключается при любом совпадении стрелок!

[Батороев]

На мой взгляд, достаточно того, что картина - симметричная-зеркальная, т.е. то, что происходило в первые 6 часов, то и повторится с точностью "до наоборот" в последующие 6 часов.

[Профессор Снэйп]

TOTAL в сообщении #399839 писал(а):

Насос переключается также в момент совпадения минутной и часовой стрелок .

Вот этого, кстати, я в условиях не подразумевал!

Не знаю, как быть с корректностью (см. выше). Исследовать лень. Но даже если задача в исходной постановке окажется некорректной, давайте считать, что насос переключается тогда и только тогда, когда секундная стрелка совпадает с одной из двух других.

Кстати, можно ещё, наверное, решать, применив принцип относительности, как в физике. Будем считать, что часовая стрелка неподвижна (ну или кто-то встал сзади за часами и потихоньку вращает их так, чтоб часовая стрелка казалась неподвижной). У двух других стрелок скорости слегка уменьшаться, но это не страшно. С двумя стрелками гораздо проще, чем с тремя.

Можно ещё, наверное, разных там Фурье применять...

[TOTAL]

Профессор Снэйп в сообщении #399871 писал(а):

TOTAL в сообщении #399839 писал(а):

Насос переключается также в момент совпадения минутной и часовой стрелок .

Вот этого, кстати, я в условиях не подразумевал!

Не имеет значения. Рассуждения и ответ не меняются.

[Профессор Снэйп]

TOTAL в сообщении #399876 писал(а):

Не имеет значения. Рассуждения и ответ не меняются.

Ну да. Симметрия, чёрт бы её побрал!