про алеф-один

[BapuK]

Возможно глупость, но все же: можно ли привести пример некоторого множества, мощность которого в точности равна $\aleph_1$ (т.е. если принять отрицание континуум-гипотезы его мощность будет строго меньше чем $\mathfrak{c}$, но больше чем $\aleph_0$

[Xaositect]

Ну просто по определению - множество всех счетных ординалов.
Профессор Снэйп когда-то интересный пример из алгебры приводил здесь на форуме

[BapuK]

ну множество всех счетных ординалов это тривиально, хотелось именно что-нибудь нетривиальное

[Xaositect]

Вот: post232161.html#p232161

[BapuK]

хмм, действительно интересно, спасибо :)

[Профессор Снэйп]

Xaositect в сообщении #399841 писал(а):

Профессор Снэйп когда-то интересный пример из алгебры приводил здесь на форуме

Элемент булевой алгебры $a \in B$ называется атомом, если $a \neq 0$ и для любого $b \in B$ либо $a \cap b = 0$, либо $a \cap b = a$. Булева алгебра называется атомной, если для любого ненулевого $b \in B$ существует атом $a \leqslant b$. Булева алгебра называется суператомной, если каждая её подалгебра --- атомная.

Можно доказать, что существует ровно $\aleph_1$ счётных суператомных булевых алгебр (взятых с точностью до изоморфизма). И, кстати, континуум счётных булевых алгебр (опять же рассматриваемых с точностью до изоморфизма).

[BapuK]

А еще какие-нибудь интресные примеры множеств этой же мощности Вам известны?

[Профессор Снэйп]

Можно ещё на кольца всё это дело перевести...

Ассоциативное коммутативное кольцо с $1$ называется булевым, если в нём выполнено тождество $x^2 = x$. Элемент $a$ булева кольца $R$ называется атомом, если порождаемый им главный идеал $aR = \{ ar : r \in R \}$ состоит ровно из двух элементов. Булево кольцо называется атомным, если для любого ненулевого $b \in R$ существует $a \in R$, такое что $ab$ --- атом. Булево кольцо называется суператомным, если любое его подкольцо является атомным.

Ну и то же самое: существует ровно $\aleph_1$ счётных суператомных булевых колец, взятых с точностью до изоморфизма. Это тот же самый факт, только переформулированный в терминах теории колец. Дело в том, что если мы возьмём булево кольцо и введём на нём операции $x \cap y = xy$, $x \cup y = x + y + xy$, $\overline{x} = 1 + x$, то оно превратится в булеву алгебру. Обратно, если есть булева алгебра, то, вводя на ней операции $xy = x \cap y$, $x + y = (\overline{x} \cap y) \cup (x \cap \overline{y})$, получаем булево кольцо.

Кстати, если от булевых колец не требовать, чтобы они были с $1$ (оставив все остальные требования), то останется верным тот же самый факт: существует ровно $\aleph_1$ счётных суператомных колец (определение суператомности нигде не использует наличие единицы). Соответствующие таким кольцам системы с операциями $x \cap y = xy$ и $x \cup y = x + y + xy$ --- это, в точности, дистрибутивные решётки с нулём и относительными дополнениями (или, как их ещё называют, алгебры Ершова).

-- Пт янв 14, 2011 19:24:30 --

А исчо можно на топологическом языке то же самое изложить. Стоуновские пространства, панимаешь

[Xaositect]

О, я вспомнил: любая максимальная цепь в полурешетке степеней неразрешимости имеет мощность $\aleph_1$.
Это даже доказывается более-менее просто: Каждый начальный отрезок не более чем счетен (машин с оракулом счетное число) => не больше $\aleph_1$. И для каждую счетной цепи можно построить еще более сложную задачу => не меньше.

[Профессор Снэйп]

Ага, есть такое Причём не обязательно $T$-степеней, можно с тем же успехом рассматривать $e$-степени, $tt$-степени, $m$-степени etc...

-- Пт янв 14, 2011 21:23:30 --

Ещё в ту же тему: в теории моделей есть знаменитая проблема Морли.

Пусть $T$ --- полная теория первого порядка не более чем счётной сигнатуры с бесконечными моделями и $m(T)$ --- количество счётных моделей этой теории, взятых с точностью до изоморфизма. Морли доказал (без привлечения континуум-гипотезы, естественно), что если $m(T) > \aleph_1$, то $m(T) \geqslant c$. Вопрос же о том, может ли $m(T)$ быть равным $\aleph_1$, оказался на удивление сложным. Не знаю, как сейчас, но 10 лет назад это точно было открытой проблемой...

-- Пт янв 14, 2011 21:24:54 --

Xaositect в сообщении #399933 писал(а):

в решетке степеней неразрешимости

Это не решётка, а верхняя полурешётка!!! Точной нижней грани у двух степеней может не существовать!

[Xaositect]

Профессор Снэйп в сообщении #399981 писал(а):

Это не решётка, а верхняя полурешётка!!! Точной нижней грани у двух степеней может не существовать!

Fixed

[BapuK]

Профессор Снэйп в сообщении #399894 писал(а):

Можно доказать, что существует ровно $\aleph_1$ счётных суператомных булевых алгебр (взятых с точностью до изоморфизма). И, кстати, континуум счётных булевых алгебр (опять же рассматриваемых с точностью до изоморфизма).

а можно увидеть доказательство?(ну или набросок доказательстваа или основные моменты в доказательстве)

[Профессор Снэйп]

BapuK в сообщении #400995 писал(а):

а можно увидеть доказательство?(ну или набросок доказательстваа или основные моменты в доказательстве)

http://www.nsu.ru/education/podzorov/Bool/BoolAlg.pdf
Первое утверждение следует из теоремы 15 на стр. 57. Второе --- стр. 60 -- 72. Правда, там всё последовательно друг от друга зависит, так что если не знакомы с булевыми алгебрами, читайте первые 70 страниц подряд

[BapuK]

спасибо :)