мощность множества (количество множеств заданной мощности)

[AGu]

malin в сообщении #231320 писал(а):

скажите, разве теория трансфинитных кардиналов не строится на предположении, что верна обобщённая гипотеза континуума? тогда получается, что определение мощность можно дать, если верна гипотеза континуума... Или я не прав?

Определение понятия мощности (как соответствующего кардинала) корректно вне зависимости от включения или невключения в аксиоматику гипотезы континуума или ее отрицания. От этих включений/невключений зависит набор теорем этой терии (о позициях мощностей на алефической шкале), а не корректность определений. Так, если гипотеза континуума включена в аксиоматику, то среди теорем будет присутствовать равенство $|\mathcal P(\mathbb N)|=\aleph_1$, если включено ее отрицание, -- то неравенство $|\mathcal P(\mathbb N)|>\aleph_1$, а если ничего не включено, то ни то, ни другое не будет теоремой. Вот и вся разница. Сама же теория остается корректной во всех случаях, т.е. она не «строится на предположении...».

[rishelie]

Цитата:

Цитата:

Эта теория прекрасно обходится без равенства $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$.

, что мне совершенно непонятно. если кто знает и может как-нибудь простенько объяснить, буду весьма признателен.
P.S. И это... не ругайтесь сильно на меня, я всего лишь на втором курсе)))

Вы все-таки пренебрегаете главным советом - читайте книжки!
И еще раз: чтобы не оперировать понятием класса множеств, в ZF определена шкала ординалов (порядковых чисел), среди которых классы эквивалентных множеств уже образуют множества. Наименьший из эквивалентных ординалов называется кардиналом и является мерилом мощности в данной теории. Нет абсолютно никакой связи между гипотезой континуума или ее обобщением и определением кардиналов. ОГК влияет лишь на структуру шкалы кардиналов, утверждая, что между мощностью любого множества и мощностью его экспоненты нет промежуточных мощностей.
Аксиома выбора позволяет определить мощность любого множества. Без нее говорить о наличии мощности (эквивалентности некоему кардиналу) произвольного множества нельзя. Кстати, она следует из ОГК, так что ОКГ нам еще и позволяет находить мощность любого множества.
И последнее. Если рассмотреть множество эквивалентных ординалов мощности $\aleph_\alpha$, то его мощность известна и равна $\aleph_{\alpha+1}$, т.е. следующему по мощности кардиналу. Иначе говоря, мощность множества всех вполне упорядочений кардинала $\tau$ равна следующему по величине кардиналу, а можность множества всех перестановок $\tau$ равна $2^\tau$. В случае ОГК эти мощности равны. Вот такая арифметика.

[Профессор Снэйп]

rishelie в сообщении #232122 писал(а):

Иначе говоря, мощность множества всех вполне упорядочений кардинала $\tau$ равна следующему по величине кардиналу...

Это неверно.

-- Пт июл 31, 2009 08:06:59 --

Возможно, имелось в виду количество типов вполне упорядочения. То есть на вполне упорядочениях вводим отношение эквивалентности, считая два упорядочения эквивалентными, если они изоморфны, а затем считаем количество классов этой эквивалентности. В этом случае, да, получается следующий по величине кардинал.

[rishelie]

Профессор Снэйп в сообщении #232151 писал(а):

rishelie в сообщении #232122 писал(а):

Иначе говоря, мощность множества всех вполне упорядочений кардинала $\tau$ равна следующему по величине кардиналу...

Это неверно.

-- Пт июл 31, 2009 08:06:59 --

Возможно, имелось в виду количество типов вполне упорядочения. То есть на вполне упорядочениях вводим отношение эквивалентности, считая два упорядочения эквивалентными, если они изоморфны, а затем считаем количество классов этой эквивалентности. В этом случае, да, получается следующий по величине кардинал.

да, я не точно выразился. имелось ввиду количество ординалов одинаковой мощности, поскольку я именно с них начал то есть, по сути, количество классов эквивалентности упорядоченностей кардинала $\tau$. Впрочем, в рамках ОГК уже нет никакой разницы

[Профессор Снэйп]

Мне в связи с этим всегда был интересен следующий факт. Количество типов изоморфизма счётных булевых алгебр --- континуум, а счётных суператомных булевых алгебр --- $\aleph_1$. Причём булева алгебра --- вещь чисто алгебраическая, чтобы определить суператомную булеву алгебру, никакой матлогики и теории кардинальных чисел вообще не требуется.

[malin]

Блин, пойду почитаю что-нить на эту тему. Спасибо за помощь.....

-- Сб авг 01, 2009 15:15:25 --

Нашёл книгу: Александров "ВВедение в теорию множеств и общую топологию", сегодня поеду на море, возьму с собой... Всем удачного отпуска!