Уравнения $y^3-2x^2y-x+1=0$ и $y^3-2x^2y+x^2+x-1=0$ в целых

[nnosipov]

1. Find all integer solutions of the equation $y^3-2x^2y-x+1=0$.

2. Find all integer solutions of the equation $y^3-2x^2y+x^2+x-1=0$.

Почему-то на форуме http://www.artofproblemsolving.com эти задачи не хотят решать. Может, здесь кто-нибудь соблазнится. Меня прежде всего интересуют элементарные решения, особенно второй задачи.

[gris]

2. три решения вблизи начала координат видны, а при больших целых можно по первым двум оценить модуль левой части. Он будет достаточно большим, хотя решений в действительных числах целых две кривых, извините за каламбур(почти прямых).

[MrDindows]

(Оффтоп)

gris в сообщении #399570 писал(а):

2. три решения вблизи начала координат видны, а при больших целых можно по первым двум оценить модуль левой части. Он будет достаточно большим, хотя решений в действительных числах целых две кривых, извините за каламбур(почти прямых).

Три целых решения? У уравнения всего-то 1 решение.

Бред написал, сотрите пост)

[gris]

(0;1), (1;1), (-1;-1)

Без мелкоскопа, глаз пристрелямши

[MrDindows]

Сильно извиняюсь...тупо поверил вольфраму...((

(Оффтоп)

А с какого это перепугу он врёт вобще?) Или это я туплю?(

[gris]

да кто их эти кубики разберёт. Но там действительно решения неподалёку от прямых $y=\pm1,4x$

[nnosipov]

gris в сообщении #399601 писал(а):

да кто их эти кубики разберёт. Но там действительно решения неподалёку от прямых $y=\pm1,4x$

Если бы от этих прямых, то всё было бы гораздо проще. Но на самом деле от прямых $y=\pm \sqrt{2}x$, а это совсем другое дело.

-- Пт янв 14, 2011 09:03:26 --

gris в сообщении #399570 писал(а):

2. три решения вблизи начала координат видны, а при больших целых можно по первым двум оценить модуль левой части. Он будет достаточно большим ...

Здесь нужны конкретные оценки. Но в целом идея правильная, однако она уводит в не совсем элементарные степи. А мне хочется элементарного решения. Кстати, у первой задачи оно есть

[gris]

первую задачу я не смотрел. Во второй сразу видно, что $y$ нечётное. Ну как не подставить $\pm 1$ Вот и три решения. Написав 1,4 дал маху. Конечно, имел в виду $\sqrt2$, но приближение в данном случае не подходит — прямые расходятся.
Я представлял поверхность $z=y(y^2-2x^2)$ и шевелил её. Но там оценка расстояния до целых точек оценивается через производные.
Может быть подставить $y=2k+1$, чтобы сократилась 1. Наверное можно прийти к какому-то противоречию, связанному с иррациональностью. Но мне дискретные задачи не даются.

[nnosipov]

gris в сообщении #399733 писал(а):

первую задачу я не смотрел. Во второй сразу видно, что $y$ нечётное. Ну как не подставить $\pm 1$ Вот и три решения. Написав 1,4 дал маху. Конечно, имел в виду $\sqrt2$, но приближение в данном случае не подходит — прямые расходятся.
Я представлял поверхность $z=y(y^2-2x^2)$ и шевелил её. Но там оценка расстояния до целых точек оценивается через производные.
Может быть подставить $y=2k+1$, чтобы сократилась 1. Наверное можно прийти к какому-то противоречию, связанному с иррациональностью. Но мне дискретные задачи не даются.

Спасибо за участие в обсуждении. Но здесь с ходу не так-то просто придумать, некоторая симпатичная наука всё же присутствует. Называется она "метод Рунге" (немного теории алгебраических чисел, но в основном разложение в ряды, т.е. математический анализ). Однако мне как раз интересно без неё обойтись. Вот, например, как это можно сделать в первой задаче.

1-е решение. Будем считать $x$ и $y$ большими. Мы имеем

$$ y(y^2-2x^2)=x-1, $$

откуда $x-1$ делится на $y$, т.е. $x=ky+1$, где $k \neq 0$ (на этом, собственно, теория чисел заканчивается). Значит, $|x| \geqslant |y|-1$. Но мы уже поняли, что в области больших значений $|x| \approx |y|/\sqrt{2}$. Вот вам и коллизия.

2-е решение. Из уравнения следует, что $y^3+1$ делится на $x$, при этом $x-1$ делится на $y$, т.е. $x=ky+1$. Можно (хотя это и более трудная задача) найти все пары $(y,k)$ целых чисел, для которых эта делимость имеет место (вот здесь элементарной теории чисел хоть отбавляй).

Чего-то такого хочется и во второй задаче придумать, но не получается.

[nnosipov]

Ну вот, кажется, понял, как элементарно разобраться и со второй задачей. Такое ощущение, что рассуждение пройдёт для любого уравнения вида $y^3-2x^2y+q(x,y)=0$, где $q(x,y)$ --- не более чем квадратичное выражение. Что же получается: для кубических уравнений, если метод Рунге к ним применим, то можно и без него обойтись?! Эй, знатоки, откликнетесь, что думаете по этому поводу?

[age]

По-моему формула Кардано должна давать необходимые условия на $x$:
там вроде получается, что в первом уравнении дискриминант существует только при $x=0$.
При $x=1$ возникает ситуация, когда $y=0+0i=0$. Два вырожденных случая.

Других решений нет, т.к. при $|x|>1$ будут получаться только комплексные решения.

[nnosipov]

age в сообщении #401355 писал(а):

Других решений нет, т.к. при $|x|>1$ будут получаться только комплексные решения.

Как известно любому школьнику, кубическое уравнение всегда имеет хотя бы один вещественный корень. Но формула Кардано здесь действительно может быть полезной, однако грамотное её использование приведёт к методу Рунге. А этого как раз и хочется избежать.

[nnosipov]

Решите уравнение $2y^3-x^2y+x^2+x=0$ в целых числах.
P.S. Это задача 5200, опубликованная в 6-м номере журнала "Математика в школе" за этот год.

[lim0n]

$(0;0),(-1;0),(-2;1)$
Можно рассмотреть это уравнение как квадратное относительно $x$. Дискриминант $D=1+8y^3(y-1)$ является квадратом целого числа при $y=0$ или $y=1$, в области больших значений $D(y)\approx 2\sqrt{2}y^2$.

[nnosipov]

lim0n в сообщении #489355 писал(а):

Дискриминант $D=1+8y^3(y-1)$ является квадратом целого числа при $y=0$ или $y=1$, в области больших значений $D(y)\approx 2\sqrt{2}y^2$.

К сожалению, доказать, что $D=1+8y^3(y-1)$ есть точный квадрат только при $y=0$ и $y=1$ --- это гораздо более сложная задача, чем исходная.