Исследовать на сходимость последовательность

[Ifreeman]

$x_{n} =1+\frac{1} {\sqrt3}+\frac{1} {\sqrt5}+...+\frac{1} {\sqrt{(n+1)}}$
С самого начала у меня с последовательностями не заладилось.Столкнулся и не пойму,на вид не сложно,а идей нет.Я понимаю что это элементарно,но все же будьте снисходительны.
Здесь надо использовать критерий Коши.Какое ограничение на корень из нечетного числа?Интуитивно кажется,что она расходящаяся.
И еще огромная просьба: посоветуйте книгу какую-нибудь с задачами на последовательность и Большим количеством примеров для более лучшего восприятия.

[Day]

Ну, видно сразу,что она больше гармонического ряда - значит, увы!

[Dan B-Yallay]

Ifreeman в сообщении #399565 писал(а):

$x_{n} =1+\frac{1} {\sqrt3}+\frac{1} {\sqrt5}+...+\frac{1} {\sqrt{(n+1)}}$
С самого начала у меня с последовательностями не заладилось.Столкнулся и не пойму,на вид не сложно,а идей нет.Я понимаю что это элементарно,но все же будьте снисходительны.
Здесь надо использовать критерий Коши.

Правильно. Покажите как вы это делаете.

Ifreeman в сообщении #399565 писал(а):

Какое ограничение на корень из нечетного числа?

Ээээ не понял.

Ifreeman в сообщении #399565 писал(а):

Интуитивно кажется,что она расходящаяся.

Правильно, она расходящаяся

Ifreeman в сообщении #399565 писал(а):

И еще огромная просьба: посоветуйте книгу какую-нибудь с задачами на последовательность и Большим количеством примеров для более лучшего восприятия.

Демидович и Антидемидович

[Tarinal]

Цитата:

Антидемидович

[Dan B-Yallay]

Day в сообщении #399566 писал(а):

Ну, видно сразу,что она больше гармонического ряда - значит, увы!

Не всем первокурсникам это видно. Особенно тем, кто начал с последовательностей и до рядов еще не дошел.

-- Чт янв 13, 2011 14:02:47 --

Tarinal в сообщении #399571 писал(а):

Цитата:

Антидемидович

Я имел в виду Боярчук/Ляшко и др.

[Gortaur]

1. покажите что расходится последовательность

$$ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+... $$

2. покажите, что последовательность

$$ 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+... $$

больше чем из п.1

3. покажите что Ваша последовательность больше чем половина последовательности из п.2э

Муторно - но можно и как в п.1 оценивать сумму нескольких членов через одно и то же число. Для перврого курса больше идей нет ((

[Ifreeman]

то что последовательность из п.2 больше чем п.1 понятно. Сходимость п.1 через Коши там получается $\frac{p}{n+p}$=(промежуточное действие p=n)=$\frac{n}{2n}>1/2$

-- Пт янв 14, 2011 02:44:32 --

Мы не проходили ряды и это очень огорчает,нигде нет нормальных примеров на исследование сходимости последовательностей,везде только ряды.
п.3 что-то не удается показать

[Joker_vD]

Ifreeman в сообщении #399587 писал(а):

нигде нет нормальных примеров на исследование сходимости последовательностей,везде только ряды.

А в чем глобально разница?

А вообще я точно помню, что расходимость $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...$ я доказывал еще на первом курсе, на первом же экзамене по матанализу, с помощью критерия Коши.

[Day]

(Оффтоп)

В золотые наши годы мы готовились к экзаменам так. (на лекции, конешно не ходили, так, заскочишь вечерком на спецкурс, побалдеешь, потусуешься). А потом - список билетов-вопросов, пытаешься все сам доказать. Не получилось, или определения не знаешь - в учебник, в лекцию (у девчонок они были,
это интересное явление, его еще предстоит исследовать) или опять на тусовку. Хорошая была подготовочка. Но сейчас, по прошествии многих лет, вижу, что не шибко устойчивая.

[Ifreeman]

В чем глобально разница я не знаю,потому что не знаю что такое ряды,мы до них,к сожалению,не дошли.
сВиду очень похожи на последовательность,а так...
Ну так вот не могу доказать 3.п Помогите как преобразовывать?

[Gortaur]

Ну п.3 легко -

$$ 1>\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{4}},\frac{1}{\sqrt{5}}>\frac{1}{\sqrt{6}},... $$

При этом в сумме они все дают последовательность из п.2 - значит сумма первых элементов (которая как раз нам нужна) - и будет больше половины чем сумма всех элементов, так ясно?

[Dan B-Yallay]

Ifreeman в сообщении #399587 писал(а):

п.3 что-то не удается показать

$$\begin{align*}1+1 &>1+ \dfrac 1 2\\ \dfrac 1 {\sqrt 3}+\dfrac 1{\sqrt 3}&> \dfrac 1 {\sqrt{3}}+\dfrac 1 {\sqrt{4}} \\ \dfrac 1{\sqrt 5}+\dfrac 1 {\sqrt{5}}&> \dfrac 1 {\sqrt{5}}+\dfrac 1 {\sqrt{6}}\end{align*}$$

...

[Day]

Ifreeman (Я - свободный человек - такая расшифровка?) - я к тому, что не фига думать - проходили/не проходили - у вас получится!
И с со старым Новым Годом, конечно, всех!

[Gortaur]

Dan B-Yallay
А мой вариант чем Вам не угодил?

[Dan B-Yallay]

Gortaur в сообщении #399627 писал(а):

Dan B-Yallay
А мой вариант чем Вам не угодил?

Всем угодил, просто я начал набирать когда вашего ответа еще не было, а когда отправил, ваш уже появился. Не стирать же?