диффуры в урматах

[Eldar]

Доброго времени суток, помогите пожалуйста разобратся.
Задача:
Найти характерестическую поверхность ($\varphi (t,x,y)=0, \nabla \varphi \neq 0$) для уравнения
$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}$, $\varphi |_t_=_0=x^2+y^2-7x$
Решаю:
Характерестическое уравнение: $(\varphi _t)^2=(\varphi _x)^2+(\varphi _y)^2$
1) Пусть $\frac{\partial\varphi}{\partial t}\neq 0 \Rightarrow t=f(x,y) \Rightarrow (\varphi _t)^2=(\varphi _t f_x)^2+(\varphi _t f_y)^2 \Rightarrow 1=(f_x)^2+(f_y)^2$
И тут проблема, надо решить последнее дифф.уравнение и получить из него $f=\sqrt{(x-C_1)^2+(y-C_2)^2}$, то есть показать что других решений нет, как-то это надо сделать используя краевое условие, видимо.
2) Пусть $\frac{\partial\varphi}{\partial x}\neq 0$
3) Пусть $\frac{\partial\varphi}{\partial y}\neq 0$

И ещё, помогите решить диффур:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{xy\pm \sqrt{y^2+x^2-1}}{x^2-1}$$

решением его будет $y=-\sqrt{x^2+y^2-1}+C(x\pm 1)$
он возник при решении задачи (как решать задачу понятно, проблема в диффуре):
Найти область гиперболичности, параболичности, эллиптичности и характеристики:

$$(x^2-1)u_x_x+2xyu_x_y+(y^2-1)u_y_y+2xu_x+2yu_y=0$$

[Eldar]

Вопрос всё ещё мучает меня

[Dan B-Yallay]

Eldar в сообщении #398316 писал(а):

И ещё, помогите решить диффур:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{xy\pm \sqrt{y^2+x^2-1}}{x^2-1}$$

решением его будет $y=-\sqrt{x^2+y^2-1}+C(x\pm 1)$

Странное какое-то решение. У вас $y$ зависит от квадрата самого себя под корнем.

Даже если это "решение" дифференцировать неявно

$$\dfrac {dy}{dx}= -\dfrac 1 2 \dfrac 1 {\sqrt{x^2+y^2-1}} \dfrac {d}{dx}(x^2+y^2-1)+\dfrac {d}{dx} C(x\pm 1)=-\dfrac{2x+2y \sqrt{x^2+y^2-1}+\sqrt{x^2+y^2-1}\frac {dy}{dx}C(x\pm 1)}{2\sqrt{x^2+y^2-1}}$$

откуда возьмется $xy$ в числиителе, куда исчезает корень в знаменателе и тд?