Вектор в компонентной форме, уравнение плоскости

[jrMTH]

Вопрос, скорее всего, по нотации.
Не могу понять интуитивно, почему можно вектор v = (a, b, c) записать как
v = ai + bj + ck.
что такое unit vector и буквы a,b,c понятно, вопрос в том, зачем плюсы в уравнении.
ведь мы же не складываем координаты, а если складываем, то зачем?

Потом вопрос по уравнению сферы:
S = {(x, y, z) : (x − x0)^2 + (y − y0)^2 + (z − z0)^2 = r^2}

В моей книжке написано что если это уравнение умножить (не сказано на что),
то получится
$x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$
на что умножили? и что дало это умножение, т.е. что это за формула?
Кстати, что такое буква d? Это константа, но за какую координату или за что она отвечает?

Спасибо.

[Dan B-Yallay]

jrMTH в сообщении #397958 писал(а):

Вопрос, скорее всего, по нотации.
Не могу понять интуитивно, почему можно вектор v = (a, b, c) записать как
v = ai + bj + ck.
что такое unit vector и буквы a,b,c понятно, вопрос в том, зачем плюсы в уравнении.
ведь мы же не складываем координаты, а если складываем, то зачем?

Вопрос какой-то странный

$$\bar i=\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \hspace{10pt}\bar j=\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix}, \hspace{10pt} \bar k=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}, \hspace{40pt} \bar v=\begin{pmatrix} 2 \\ 5\\ -3 \end{pmatrix} =2\bar i+5\bar j-3\bar k$$

jrMTH в сообщении #397958 писал(а):

Потом вопрос по уравнению сферы:
$S = \{(x, y, z) : (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2\}$
В моей книжке написано что если это уравнение умножить (не сказано на что),
то получится
$x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$
на что умножили? и что дало это умножение, т.е. что это за формула?
Кстати, что такое буква d? Это константа, но за какую координату или за что она отвечает?
Спасибо.

Раскройте квадраты в уравнении сферы, соберите подобные и все станет ясно.

[jrMTH]

Dan B-Yallay, спасибо за матрицы. я этого не заметил раньше.

[paha]

jrMTH в сообщении #397958 писал(а):

если это уравнение умножить (не сказано на что),
то получится

там, наверное употреблен глагол to produce -- не в смысле произведения, а в смысле кака раз "получить"

[jrMTH]

вот что написано
the equation in formula (1.29) is multiplied out, we get an equation of the form
http://www.mecmath.net/calc3book.pdf
страница 40 - 41

[Dan B-Yallay]

multiply out = перемножить
раскройте квадраты
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2$

[VAL]

jrMTH в сообщении #397962 писал(а):

Dan B-Yallay, спасибо за матрицы. я этого не заметил раньше.

Матрицы тут не причем.
То есть, разумеется, можно записать и через матрицы, но не в этом суть.
По определению координаты вектора - это коэффициенты в его разложению по базису. В приведенной Вами записи $(i, j, k)$ - это базис (как правило, так обозначают ортонормированный базис).

[jrMTH]

VAL в сообщении #398664 писал(а):

jrMTH в сообщении #397962 писал(а):

Dan B-Yallay, спасибо за матрицы. я этого не заметил раньше.

Матрицы тут не причем.
То есть, разумеется, можно записать и через матрицы, но не в этом суть.
По определению координаты вектора - это коэффициенты в его разложению по базису. В приведенной Вами записи $(i, j, k)$ - это базис (как правило, так обозначают ортонормированный базис).

кажется я точно понял: т.е. i, j, k - это фактически неколлинеарные вектора, и если их сложить, получится вектор.
т.е. обратное: вектор i+j+k можно разложить на неколлинеарные вектора.

правильно?

[Gortaur]

i,j,k - не коллинеарные и не компланарные векторы. Это базис - то есть любой вектор можно представить как линейную комбинацию из этих трех (причем единственным образом). Вы линейную алгебру проходили? Если нет - то векторное пространство таково, что линейная комбинация любого числа векторов тоже является вектором (то есть некоторым объектом, о координатах речи пока нет, они пока не определены). Далее - в этом пространстве можно ввести базис - то есть некоторую систему векторов, из которой линейной комбинацией можно получить остальные. Например назовем их $i,j,k$. Тогда координатами вектора (по определению) будут коэффициенты в линейной комбинации.П

Пример:

$$ i = 1 \cdot i+0 \cdot j+0 \cdot k, $$

поэтому пишем что $i = (1,0,0)$.

[jrMTH]

Dan B-Yallay в сообщении #398658 писал(а):

multiply out = перемножить
раскройте квадраты
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2$

Я открыл, получилось
$x^2-2xx_0 + x_0^2 + y^2 - 2yy_0 + y^2 + z^2 - 2zz_0 + z_0^2 = r^2$

где теперь взять a, b, c, d?

[Day]

$a=-2x_0$
.....
$d=x_0^2+y_0^2+z_0^2 - r^2$