Турнир по армрестлингу

[Xenia1996]

В турнире по армрестлингу участвуют 1024 рукоборца. Турнир проводится по олимпийской системе (проигравший выбывает). За день до начала турнира каждый рукоборец получает личный номер (натуральное число от 1 до 1024 включительно, каждый номер присваивается лишь одному рукоборцу и сохраняется за ним до окончания турнира), отражающий его успехи в предыдущих турнирах (чем сильнее борец, тем номер выше). Поединок называется нечестным, если разность номеров двух борцов, участвующих в нем, превышает 53 (ведь очень сильный борец почти наверняка победит).

Верно ли, что независимо от жеребьевки и результатов игр, будет проведён хотя бы один нечестный поединок?
Если верно, доказать. Если нет, привести пример.

[venco]

(hint)

$53\cdot19<1023$

[Xenia1996]

venco в сообщении #398194 писал(а):

(hint)

$53\cdot19<1023$

(Оффтоп)

Да мне-то хинт зачем? Я давно решила, но хочу, чтобы остальные попробовали.

[Tarinal]

нет, ведь можно устроить так, что у всех бойцов перед турниром будут равные номера

[Xenia1996]

Tarinal в сообщении #398241 писал(а):

нет, ведь можно устроить так, что у всех бойцов перед турниром будут равные номера

Не-а!
Внимательно прочитайте условие:

Цитата:

...каждый номер присваивается лишь одному рукоборцу...

[Tarinal]

Все равно нет, ведь первый уделывает второго, второй третьего и так далее, разность будет всегда один

[venco]

Tarinal, Вы знаете, что такое олимпийская система?

[Tarinal]

venco в сообщении #398394 писал(а):

Tarinal, Вы знаете, что такое олимпийская система?

ну да...

[Alexiii]

Задачка отнюдь не замысловатая (априори было видно, так как ее смогла решить девушка ).

Не знаю, на сколько все учел, но навскидку можно прорешить так:
пусть все встречи были честными (более ничего не допускаем, так что если противоречие будет, то оно коснется лишь этого допущения!). Кто-то же выиграл - допустим, это $k$-тый номер (с бицепсами в 30 см ). Тогда десятый тур (то есть финал) состоялся бы из "бойцов" интервала $(k-53,k+53)$. Коли финалист был сильнее победителся, 9-ый тур (семифайнл) был бы в интервале $(k-53,k+2*53)$. Иначе 9-ый тур был бы в интервале $(k-2*53,k+53)$. Следовательно, 8-ой тур - интервал $(k-2*53,k+3*53)$ или (или - ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ, скобки - ВКЛЮЧАЮЩИЕ) интервал $(k-3*53,k+2*53)$. Продолжив в таком духе, дойдем до того, что первый тур (1024 "бойца") был или в $(k-10*53,k+9*53)$, или в $(k-9*53,k+10*53)$. По-любому, длина этого интервала равна 1008, что меньше 1024. Пришли к противоречию - задачка решена! Ответ: верно!
Отметим, что в ходе решения, при допущении противного, можно сделать и иные выводы насчет победителся!

[TOTAL]

Xenia1996 в сообщении #398173 писал(а):

Верно ли, что независимо от жеребьевки и результатов игр, будет проведён хотя бы один нечестный поединок?
Если верно, доказать. Если нет, привести пример.

Все состоявшиеся поединки могли быть честными. Ведь победа могла быть присуждена без поединка (противник отказался от поединка из-за травмы).

[svv]

Можно наглядно описать решение так.
Пусть у номера 1 имеется значок синего цвета. Пусть на каждом туре обладатель значка после поединка передает значок победителю (оставляет у себя, если он сам победил). Если все поединки честные, то после каждого тура номер обладателя значка может увеличиться максимум на 53, и перед финальным поединком номер обладателя синего значка не превзойдёт $1+9*53=478$.
Пусть у номера $1024$ имеется значок красного цвета, который тоже после каждого поединка передается победителю. Аналогично перед финалом номер обладателя красного значка будет не менее $1024-9*53=547$.
А поединок двух участников с номерами $\leqslant 478$ и $\geqslant 547$ не может быть честным.

Красный цвет символизировал здоровяка, синий цвет -- задохлика.

[TOTAL]

Независимо от жеребьевки и результатов игр, будет проведено хотя бы $X$ нечестных поединков. Найти $X.$

[svv]

Вот вариант с $X=3$.

Делим всех участников на группы по 16 человек (в первой группе -- с 1 по 16, во второй -- с 17 по 32 и т.д.).
В первых четырех турах происходят поединки внутри групп. В итоге побеждают участники с номерами, кратными 16, и только они.

Далее делим этих оставшихся на 4 группы: 16...256, 272...512, 528...768, 784...1024.
Рассмотрим одну такую группу (в остальных все аналогично со сдвигом $256n$).
Пятый тур. 16:32, 48:64, 80:96, 112:128, 144:160, 176:192, 208:224, 240:256 (полужирным выделены победители).
Шестой тур. 32:64, 80:112, 160:192, 208:240.
Седьмой тур. 64:112, 160:208.
Восьмой тур. 112:160.

До сих пор всё было честно, разности не превосходили 48. Но оставшиеся три поединка (например, 160:416, 672:928 и затем 416:928) честными уже не будут

Вообще, не очень удивлюсь, если и $X=1$ возможно.