Стабильность периодического решения.

[Gortaur]

Есть решение $(x,y) = (\cos{t},\sin{t})$, нужно проверить его стабильность. Составил линеаризированную систему с матрицей
$a_{11} = \cos{t}\sin{t},a_{12} = -\cos^2{t},a_{21} = \sin^2{t},a_{22} = -\cos{t}\sin{t}$.
Как проверить ее стабильность?

[moscwicz]

мультипликаторы посчитать на компьютере

[Gortaur]

Это как-то связано с Теоремой Флоке о разложении фундаментальной матрицы на периодическую и експоненту постоянной? Тогда что там именно мультипликаторы, как их считать и что они дадут?

[moscwicz]

Связано, но Вам нужно вот что

Пусть $X(t)$ -- фунд. матрица линейной системы ДУ с $\omega-$ периодической матрицей $A(t)$
т.е. $\dot X=A(t)X,\quad X(0)=E$. Мультипликаторы системы это собственные числа матрицы $X(\omega)$. Если все мультипликаторы по модулю меньше 1, то система асимптотически устойчива, если есть хотя бы один мультипликатор больший единицы по модулю, то система неустойчива.

[Gortaur]

Простите за глупый вопрос, а как их найти?

[moscwicz]

ну Вы же можете посчитать на компе $X(t)$ на конечном промежутке времени.

[Gortaur]

Так, то есть у меня получится система из 4х уравнений, да? Считать ее численно или аналитически (по крайней мере, как Вы предполагаете)?

[moscwicz]

Да, но можно заметить, что столбцы матрицы $X$ это решения исходной системы с нач. условиями $(1,0)^T$ и $(0,1)^T$ поэтому считать надо(удобней имхо) не систему 4 уравнений а два раза систему двух уравнений.

[Gortaur]

То есть

$$ \dot{X}_1 = A(t)X_1,\dot{X}_2 = A(t)X_2 $$

где $\dot{X}_1$ и $\dot{X}_2$ - столбцы?

[moscwicz]

да

[Gortaur]

Mathematica 8 не берет ((

-- Ср янв 12, 2011 12:32:33 --

Причем я знаю одно из решений - производная самого $(\cos{t},\sin{t})$. По-моему, есть метод найти второе фундаментальное решение.

[moscwicz]

тогда уцравнение решается в квадратурах с помощью формулы Лиувилля

$$|Y(t)|=|Y(0)|e^{\int_0^ttr\,A(s)ds},\quad \dot Y=A(t)Y$$

$|Y|$ -- определитель матрицы

[Gortaur]

У нас получается 2 неизвестные функции и лишь одно уравнение - как найти обе?

-- Чт янв 13, 2011 15:21:34 --

У меня получилось, что

$$ y(t)\sin{t}+x(t)\cos{t} = x_0 \exp(\sin^2{t}). $$

[moscwicz]

у Вас есть еще система диффуров

[Gortaur]

Не могли бы Вы проверить, нет ли очевидных ошибок в полученном мною уравенении?