2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Можно ли использовать Теорему Лагранжа о четырёх квадратах?
Сообщение11.01.2011, 11:37 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Можно ли использовать Теорему Лагранжа (о четырёх квадратах) в школьных олимпиадах?

Тут вот такая задачка попалась:

Найти все натуральные числа, которые могут быть представлены единственным способом (с точностью до перестановки мест слагаемых) в виде суммы пяти или менее квадратов целых чисел.

Так и подмывает использовать Теорему Лагранжа о четырёх квадратах, тогда очень легко решается.
Но вот разрешено ли? Или доказывать её надо (мне известно лишь доказательство самого Лагранжа, весьма объёмное, на олимпиаде не напишешь)?

А может, можно неким образом без Лагранжа обойтись?

=======================
С Лагранжем я вот так решила:

Если натуральное число n равно 30, то имеет (хотя бы) два различных представления в виде суммы пяти или менее квадратов целых чисел: 5^2+2^2+1^2 и 3^2+3^2+2^2+2^2+2^2.

Если же n не равно 30, но превышает 16, то в его лагранжевом представлении (то бишь, в виде суммы четырёх квадратов) отсутствует хотя бы одно из чисел {1^2, 2^2, 3^2, 4^2}, и тогда можно записать n с помощью лагранжева представления числа, меньшего n на отсутствующее число, а затем добавить само отсутствующее число.

Например, лагранжево представление числа 100 будет 7^2+7^2+1^2+1^2.
Мы видим, что число 2^2=4 не находится в этом представлении, значит отнимаем от 100 четвёрку, пишем лагранжево представление числа 96, а потом добавляем к нему ту четвёрку, которую отняли до этого.

Таким образом я доказала, что любое натуральное число, превышающее 16, имеет хотя бы два представления: одно - лагранжево, другое - нет.

Осталось лишь проверить (в"ручную") все натуральные числа меньше 17.
Убеждаемся, что лишь числа 1, 2, 3, 6, 7 и 15 являются ответом на задачу.

=======================
А теперь помогите мне, пожалуйста, решить без Лагранжа.
Заранее благодарна!

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли использовать Теорему Лагранжа о четырёх квадратах?
Сообщение11.01.2011, 11:50 
Заслуженный участник


08/04/08
8564
Xenia1996 писал(а):
Можно ли использовать Теорему Лагранжа (о четырёх квадратах) в школьных олимпиадах?

Не знаю как где, а теорему Лагранжа у нас на лекции по ТЧ не упоминали. Т.е. вообще нигде никогда не упоминали. Да и о единственности представления простого в виде суммы двух квадратов тоже. Т.е. использовать скорее всего нельзя

(Оффтоп)

жаль, но теорему Дирихле о простых тоже нельзя использовать

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли использовать Теорему Лагранжа о четырёх квадратах?
Сообщение11.01.2011, 11:54 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Sonic86 в сообщении #398009 писал(а):
Xenia1996 писал(а):
Можно ли использовать Теорему Лагранжа (о четырёх квадратах) в школьных олимпиадах?

Не знаю как где, а теорему Лагранжа у нас на лекции по ТЧ не упоминали. Т.е. вообще нигде никогда не упоминали. Да и о единственности представления простого в виде суммы двух квадратов тоже. Т.е. использовать скорее всего нельзя

(Оффтоп)

жаль, но теорему Дирихле о простых тоже нельзя использовать

И с помощью чего же в таком случае решать?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group