Определённый интеграл.

[Mitrius_Math]

Требуется вычислить интеграл: \int^{\pi}_{0} \sqrt{3+2\sqrt{2} \cos \varphi} \ d \varphi. Универсальная тригонометрическая подстановка ни к чему хорошему не привела. Кроме того, после такой подстановки интеграл превращается в несобственный (верхним пределом становится +\infty). Может быть, есть какие-то другие методы?

[Day]

Странно...
Подинтегральная функция не всюду определена на интервале интегрирования...

[Хорхе]

Да нет же, всюду.

-- Пн янв 10, 2011 15:20:47 --

$ =\frac12\int_0^{2\pi} \sqrt{3(\cos^2 \frac x2 +\sin^2 \frac x2) +2\sqrt2 (\cos^2 \frac x2 -\sin^2 \frac x2)} dx = \int_0^{\pi} \sqrt{(3+2\sqrt{2})\cos^2 x +(3-2\sqrt{2})\sin^2 x)}dx$
Это половина длины эллипса с полуосями $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$ и $\sqrt{3-2\sqrt{2}}$, в элементарных функциях не выражается, увы.

[Mitrius_Math]

Day в сообщении #397569 писал(а):

Странно...
Подинтегральная функция не всюду определена на интервале интегрирования...

С чего Вы взяли?
Суть такова: нужно найти длину улитки Паскаля, заданной полярным уравнением $r=1+\sqrt{2} \cos \varphi$. Я воспользовался стандартной формулой для длины дуги и пришёл к данному интегралу.

-- Пн янв 10, 2011 15:25:56 --

Хорхе в сообщении #397570 писал(а):

Это половина длины эллипса, в элементарных функциях не выражается, увы.

Спасибо, Хорхе. После универсальной тригонометрической подстановки подынтегральная функци кагбэ символизирует.
Самое интересное, что эта задача должна быть решена без использования приближенных методов.Видимо, ошибка в условии.
А как-то можно по-простому доказать, что интеграл не выражается в элементарных функциях?

[Tlalok]

Хорхе в сообщении #397570 писал(а):

$\int_0^{\pi} \sqrt{(3+2\sqrt{2})\cos^2 x +(3-2\sqrt{2})\sin^2 x)}dx$
Это половина длины эллипса с полуосями $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$ и $\sqrt{3-2\sqrt{2}}$, в элементарных функциях не выражается, увы.

Этого вполне достаточно. Подобные интегралы называют эллиптическими, а они, за редким исключением, в элементарных функциях не выражаются.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Эллипс
почитайте о вычислении длины дуги эллипса

[Хорхе]

Кстати, $\sqrt{3\pm 2\sqrt 2} = \sqrt 2\pm1$. Доказательство того, что в элементарных функциях нельзя представить, не может быть элементарным. То есть "по-простому" не получится. Возможно, авторы задания хотели заставить посчитать площадь, а написали "длину" Или вообще просто-напросто не пробовали эту задачу решить и не знали, что там засада.

[Mitrius_Math]

Хорхе в сообщении #397616 писал(а):

Возможно, авторы задания хотели заставить посчитать площадь, а написали "длину" Или вообще просто-напросто не пробовали эту задачу решить и не знали, что там засада.

Да, скорей всего, именно так. Тем более, что такое уже случалось.

[Хорхе]

Почитал про сингулярные значения эллиптических интегралов и вот что вынес: почти наверное, речь не шла о длине. Самая "ручная" задача получается для улитки Паскаля $\rho(t) = 1+ (3+2\sqrt{2})\cos t$ (можно и с минусом в скобках), ее длина

$$ (2+\sqrt{2})\Big[\frac{\Gamma^2(\frac14)}{\sqrt{\pi}}+\frac{8\pi^{3/2}}{\Gamma^2(\frac14)}\Big]. $$

(Конечно же, можно легко посчитать длину "улитки" $\rho(t) = 1+\cos t$, но, во-первых, это кардиоида, во-вторых, вряд ли корень из двух возник просто из ничего.)

To sum up: Считайте площадь

[ewert]

Корень из двух взялся по достаточно тривиальной причине: желательно, чтобы пределы интегрирования были "хорошими". И это соображение одинаково и для длин, и для площадей. А так да, скорее всего сочинители перепутали длину с площадью.

[Mitrius_Math]

Хорхе в сообщении #397654 писал(а):

Считайте площадь

На днях спрошу у преподавателя.
Но за "площадную" идею спасибо. Решу такую задачу на всякий случай.

[Day]

Day в сообщении #397569 писал(а):

Странно...
Подинтегральная функция не всюду определена на интервале интегрирования...

Извиняюсь. Как-то не увидел, что $3 > 2*\sqrt2$
Видимо, в этот момент сидел вверх ногами...