Хочу решить эту страшненькую систему

[Circiter]

Хоть ewert и утверждает, что интеграл решить невозможно, но у меня их здесь нет, у меня здесь экспоненты (надеюсь, комплексные).

Можно ли решить такую систему? Вот она:

$$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^y=0\\ \mathrm{e}^{x(1+\sqrt 2)}+\mathrm{e}^{y(1-\sqrt 2)}=1\end{array}\right.$$

В правых частях, вместо 0 и 1 можно подставить и другие числа, если это поможет; также, если двух уравнений будет недостаточно, можно ещё какое-нибудь третье придумать и дописать. :) То ли постновогодняя интоксикация сказывается (а я ж не пью), то ли не решаются эти уравнения... В общем, подскажите что-нибудь, пожалуйста... Спасибо огроменное.

[Lazy]

Почему не прологарифмировать?

Мне кажется, двух уравнений достаточно и все решается...

[Gortaur]

Первое уравнение распишете через $x = a_x + i b_x$, $y = a_y + i b_y$ - полуится два уравнения

$$ \exp(a_x)\cos b_x+\exp(a_y)\cos b_y = 0 $$

$$ \exp(a_x)\sin b_x+\exp(a_y)\sin b_y = 0 $$

Свернете их через дополнительный угол.

[venco]

Если бы везде в экспоненте было $(1+\sqrt2)$ (или другой, но одинаковый множитель), то можно было бы решить аналитически. А так решение-то есть, только получить его...

[mihailm]

Можно начать так
$e^x=re^{it}$
дальше $e^y=re^{i(t+\pi)}$

и подставляем во второе уравнение

[Circiter]

Благодарю за помощь. Но что-то не помогло... :) Подход mihailm'а я к сожалению не понял, а вот выкладки Gortaur'а мне понравились, но я утонул в тригонометрических преобразованиях. :) Ума не приложу, как быть со вторым уравнением исходной системы. Интересно, что математические пакеты вроде-бы тоже не могут справиться с этой задачкой.

Для меня идеи её решения по-прежнему актуальны, но, в-принципе, дальше я наверное сам покумекаю, тем более, что мне просто было интересно. Ещё раз спасибо.

[Dan B-Yallay]

Circiter в сообщении #396581 писал(а):

Благодарю за помощь. Но что-то не помогло... :) Подход mihailm'а я к сожалению не понял, а вот выкладки Gortaur'а мне понравились...

Из уравнения $\displaystyl e^x+e^y=0$ следует $e^y=-e^x$. Далее, пусть $x=r+it:$

$$ \begin{align*} \displaystyl e^{r+it}& =e^r(\cos t+i \sin t) \\ \displaystyl -e^{r+it}&=-e^r\cos t -e^r i \sin t= e^r\cos(t+\pi) + ie^r \sin(t+\pi)=e^{r+i(t+\pi)} \end{align*}$$

Получаетe $\displaystyl x=r+it, \ y=r+i(t+\pi) \ \text{ то есть } y=x+i\pi $

Теперь подставляете это, как это и советовалось, во второе уравнение:

$\displaystyle e^{x(1+\sqrt{2})}+e^{(x+i\pi)(1-\sqrt{2})}=1$

[Lazy]

Circiter в сообщении #395959 писал(а):

$$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^y=0\\ \mathrm{e}^{x(1+\sqrt 2)}+\mathrm{e}^{y(1-\sqrt 2)}=1\end{array}\right.$$

Как насчет такого варианта? Разделим первое уравнение на $e^y$, а второе на $e^{y(1-\sqrt2)}$. Тогда:

$$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x-y}=-1\\ \mathrm{e}^{x(1+\sqrt 2)-y(1-\sqrt 2)}=0\end{array}\right.$$

Во втором уравнении раскрываем скобки в показателе степени, получаем:

$$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x-y}=-1\\ \mathrm{e}^{x - y + \sqrt 2 (x + y)}=0\end{array}\right.$$

Заменим $x - y = a$ и $x + y = b$. Окончательно:

$$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^a=-1\\ \mathrm{e}^{a+\sqrt 2 b}=0\end{array}\right.$$

Или я где-то наврал?..

[venco]

А единица из правой части второго уравнения куда делась?

[Виктор Викторов]

Lazy в сообщении #397206 писал(а):

Circiter в сообщении #395959 писал(а):

$$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^y=0\\ \mathrm{e}^{x(1+\sqrt 2)}+\mathrm{e}^{y(1-\sqrt 2)}=1\end{array}\right.$$

Как насчет такого варианта? Разделим первое уравнение на $e^y$, а второе на $e^{y(1-\sqrt2)}$. Тогда:

$$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x-y}=-1\\ \mathrm{e}^{x(1+\sqrt 2)-y(1-\sqrt 2)}=0\end{array}\right.$$

Во втором уравнении враньё, а из первого следует, что $x-y=i\pi$

[Lazy]

Мде... Извиняюсь, жестоко протупил

Но тогда все равно $x = i \pi - y$
И, подставляя во второе уравнение, имеем: $e^{i \pi (1 + \sqrt 2) - y (1 - \sqrt 2)} = 1 - e^{y (1 - \sqrt 2)}$.

Дальше можно словчить и построить в каком-нибудь мат. пакете графики.

[Виктор Викторов]

Lazy в сообщении #397225 писал(а):

Но тогда все равно $x = i \pi - y$

$x = i \pi + y$

[venco]

Виктор Викторов в сообщении #397218 писал(а):

из первого следует, что $x-y=i\pi$

Кстати, из первого на самом деле следует $x-y=i\pi(2k+1)$

[Виктор Викторов]

venco в сообщении #397247 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #397218 писал(а):

из первого следует, что $x-y=i\pi$

Кстати, из первого на самом деле следует $x-y=i\pi(2k+1)$

Я же не написал, что следует только $x-y=i\pi$. Поэтому Ваше "на самом деле" не на самом деле.

[venco]

Похоже, у нас разное понимание слова "следует".