supremum от функции в определении несобственного интеграла?

[Alfucio]

Здравствуйте!

Читаю «Курс математического анализа» Льва Дмитриевича Кудрявцева (II том, раздел 54.1 «Основные определения. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра»), и пытаюсь понять определение 2' (штрих):

Сходящийся на множестве $Y$ интеграл [несобственный, зависящий от параметра] называется равномерно сходящимся на этом множестве, если
$\[\mathop {\lim }\limits_{\eta \to b - 0} \mathop {\sup }\limits_{y \in Y} \left| {\int\limits_\eta ^b {f(x,y)dx} } \right| = 0\]$

Интуитивно определение 2-штрих понятно, и также понятно как оно связано с определение 2 (без штриха), которое дается на языке ε-δ.

Но по определению супремум — это определенный элемент упорядоченного множества, которое содержит в себе подмножество (о супремуме данного подмножества мы и говорим).

Но для любого $y_0$ интеграл $\[{\int\limits_\eta ^b {f(x,y_0)dx} }\]$ — не число, а функция от переменной $\eta$. То есть получается, что понятие супремума невозможно применить по определению.

Подскажите, пожалуйста, чего я не учитываю? Заранее спасибо :).

[bot]

По определению $\sup\limits_{y\in Y} F(y)=\sup\{F(y)| y\in Y\}$

[Gortaur]

У Вас предел стоит слева, то есть делается так: фиксируется $\eta_1$ близкая к $b-0$, получаем

$$ \epsilon_1 = \sup\limits_{y\in Y}\left|\int\limits_{eta_1}^bf(x,y)\,dy\right|. $$

Здесь мы можем применять супремум по определению, так как интеграл - функция, зависящая теперь только от $y$. Далее

$$ \epsilon_n= \sup\limits_{y\in Y}\left|\int\limits_{eta_n}^bf(x,y)\,dy\right|. $$

А теперь определение, эквивалентное 2':
Если для любой последовательности $\eta_n$ сходящейся снизу к $b-0$ выполнено, что $\epsilon_n\to 0$, то интеграл сходится равномерно.
Здесь мы использовали только супремумы числовых множеств.

[ewert]

Alfucio в сообщении #395864 писал(а):

Но для любого $y_0$ интеграл $\[{\int\limits_\eta ^b {f(x,y_0)dx} }\]$ — не число, а функция от переменной $\eta$. То есть получается, что понятие супремума невозможно применить по определению.

Почему невозможно-то? Этот интеграл есть функция двух переменных: $y_0$ и $\eta$, а дальше Вы неудачно акценты расставили. Надо наоборот: фиксируя $\eta$, получаем функцию одной переменной $y_0$, для множества значений которой супремум вполне имеет смысл. И будет он, естественно, для разных $\eta$ -- разный, так что и его пределом при при $\eta\to b-0$ вполне можно поинтересоваться.

[Alfucio]

Действительно, я сглупил. Если я правильно понимаю, получается так:

$\[\forall \varepsilon > 0\;\exists \delta > 0\;\forall \eta \left( {\left[ {\left| {\eta - b} \right| < \delta } \right] \wedge \left[ {b - \eta > 0} \right]} \right) \Rightarrow \mathop {\sup }\limits_{y \in Y} \left| {\int\limits_\eta ^b {f(x,y)dx} } \right| = 0\]$,

где уже интеграл $\[{\int\limits_\eta ^b {f(x,y)dx} }\]$ тоже понимается как несобственный.

Я ошибся в том, что в данном случае $lim$ и $sup$ — это не «простые» операции, для которых действия производятся поэтапно (как, например, в $\[\exp (\cos ({x_0}))\]$: сначала будет вычислен $cos$, затем $exp$).

Спасибо!

[Gortaur]

Вообще-то не вижу проблемы и в "простых операция", потому как зависимость по переменной "внутри" нескольких операций также поэтапно переносится на все последующие, главное чтобы области определения были корректны.

[Alfucio]

Gortaur, согласен с Вами. Моя ошибка заключалась в том, что я шел из внутренних «скобок» поэтапно и пытался применить «функцию». Первой функцией был супремум, но я не смог его найти, так как у меня получался супремум от функции. Только потом уже пришла мысль, благодаря ответам и размышлению, что предел это не просто «внешняя функция», а именно предел, и рассматривать все это выражение нужно по-другому:

Alfucio в сообщении #396005 писал(а):

$\[\forall \varepsilon > 0\;\exists \delta > 0\;\forall \eta \left( {\left[ {\left| {\eta - b} \right| < \delta } \right] \wedge \left[ {b - \eta > 0} \right]} \right) \Rightarrow \mathop {\sup }\limits_{y \in Y} \left| {\int\limits_\eta ^b {f(x,y)dx} } \right| = 0\]$,

где уже интеграл $\[{\int\limits_\eta ^b {f(x,y)dx} }\]$ тоже понимается как несобственный.