задачка по топологии

[Padawan]

Есть непрерывное отображение круга в себя, тождественное на границе. Доказать, что это сюрьекция.

[Руст]

Это обычно одним из первых объясняется в любом учебнике по топологии. Если не сюръекция, то найдётся некоторая точка y, не принадлежащая образу и соединяя остальные точки x с границей по прямой, проходящей через y, получим сюръекцию на границу, причём, тождественную на границе. А это означает, что граница является ретрактом, что противоречит общеизвестному факту из гомотопической топологии.