Дифференцирование по параметру несобственного интеграла

[Xaliuss]

У меня в процессе исследований возник интеграл вида $\varphi \left( x \right) = \int\limits_{a\left( x \right)}^{b\left( x \right)} {f\left( {x,t} \right)} dt$, где ${f\left( {x,t} \right)}$ непрерывна при $a\left( x \right) \le t < b\left( x \right)$ и $\mathop {\lim }\limits_{t \to b\left( x \right)} f\left( {x,t} \right) = \infty $. Интегрируемость в несобственном смысле абсолютная, производные есть любого порядка. Мне надо найти $\varphi '\left( x \right)$. Обычная формула Лейбница тут не работает, в Фихтенгольце для задач такого типа предлагается замена переменных, чтобы особенность от параметра не зависела. Есть ли какая-то общая формула?

Если нет, то хотя бы в частном случае , когда $a\left( x \right) = x$, и особенность можно выделить в виде $f\left( {x,t} \right) = {f_1}\left( {x,t} \right){\left( {x - t} \right)^\alpha }$ или $f\left( {x,t} \right) = {f_1}\left( {x,t} \right)\ln \left( {x - t} \right)$, где ${f_1}\left( {x,t} \right)$ непрерывная и 0>$\alpha >-1 $.

[Gortaur]

Если все так замечательно, то почему бы просто не посчитать сначала

$$ \phi'_\delta(x), $$

где

$$ \phi_\delta(x) = \int\limits_{a(x)}^{b(x)-\delta}f(x,t)\,dt. $$

Взять потом предел по дельта.

[Xaliuss]

Это же последовательность действий для вывода правила Лейбница... При переходе к пределу будет неопределенность - бесконечность вылезет в 2 местах. Это я делал.

[Gortaur]

то у Вас особенность в $b$, то в примерх она в $a$.

[mihiv]

Xaliuss в сообщении #395716 писал(а):

Если нет, то хотя бы в частном случае , когда $a\left( x \right) = x$, и особенность можно выделить в виде $f\left( {x,t} \right) = {f_1}\left( {x,t} \right){\left( {x - t} \right)^\alpha }$.

Как уже отметил Gortaur Вы,видимо,имеете в виду $b(x)=x$,т.к. в постановке задачи особенность при $t\to b(x)$.

В этом частном случае можно проинтегрировать по частям:

$$\int \limits ^x_{a(x)}f_1(x,t)(x-t)^{\alpha }dt=\frac 1{\alpha +1}f_1(x,a(x))(x-a(x))^{\alpha +1}+\frac 1{\alpha +1}\int \limits ^x_{a(x)}f'_1(x,t)(x-t)^{\alpha +1}dt$$

[Ales]

А если так: $ t=a(x)+(b(x)-a(x))\tau$

-- Чт янв 06, 2011 12:34:26 --

Тогда $\varphi \left( x \right) = (b(x)-a(x))\int\limits_0^1 {f\left( {x,a(x)+(b(x)-a(x))\tau} \right)} d\tau$

[moscwicz]

Xaliuss в сообщении #395716 писал(а):

У меня в процессе исследований возник интеграл вида $\varphi \left( x \right) = \int\limits_{a\left( x \right)}^{b\left( x \right)} {f\left( {x,t} \right)} dt$, где ${f\left( {x,t} \right)}$ непрерывна при $a\left( x \right) \le t < b\left( x \right)$ и $\mathop {\lim }\limits_{t \to b\left( x \right)} f\left( {x,t} \right) = \infty $. Интегрируемость в несобственном смысле абсолютная, производные есть любого порядка. Мне надо найти $\varphi '\left( x \right)$

если бы особенности не было то формула была бы такой
$\varphi'(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f'_x(x,t)dt+f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)$ это наводит на мысь о том, что при наличии особенности, если интегал в последней формуле сходися и $b'$ не тождественный ноль, то производной $\varphi'(x)$ просто не существует.

[Padawan]

moscwicz в сообщении #395919 писал(а):

если бы особенности не было то формула была бы такой
$\varphi'(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f'_x(x,t)dt+f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)$ это наводит на мысь о том, что при наличии особенности, если интегал в последней формуле сходися и $b'$ не тождественный ноль, то производной $\varphi'(x)$ просто не существует.

... и мы получаем еще один пример непрерывной функции без производной

-- Чт янв 06, 2011 16:50:42 --

По-моему оптимальный путь -- замена переменной. Например, линейная, как предложил Ales. Надо конкретный пример брать, и смотреть, какой интеграл после замены получается.

[Xaliuss]

Да конечно, везде особенность с одной стороны. Опечататка.

Тоже склоняюсь к замене переменной, просто в моем конкретном случае при обычной замене вылезает особенность с другого конца, что не удобно. Интегрирование по частям в частном случае действительно наиболее удобно, там уже можно и правило Лейбница применить. Приведу конкретный интеграл с которым я боролся.

$$ \varphi \left( x \right) =\int\limits_{\arcsin \frac {x}{2}}^{\frac {\pi}{2} } {\ln \left( {2 \sin x - t}\right)} dt$$

Задача состоит в его как можно более точной оценке вида $-cx\ln x\le \varphi \left( x \right) \le 0$ при $x$ близких к $0$.

[Ales]

Xaliuss в сообщении #396043 писал(а):

Приведу конкретный интеграл с которым я боролся.

$$ \varphi \left( x \right) =\int\limits_{\arcsin \frac {x}{2}}^{\frac {\pi}{2} } {\ln \left( {2 \sin x - t}\right)} dt$$

Задача состоит в его как можно более точной оценке вида $-cx\ln x\le \varphi \left( x \right) \le 0$ при $x$ близких к $0$.

Если $x$ мало, то под логарифмом - отрицательное число.
Логарифм - комплексный, многозначный.
Так и должно быть?

[Xaliuss]

Блин, $x$ и $t$ местами в интеграле поменять надо , и все. Привык в Mathtype набирать все формулы, с Техом чуть хуже дела...

Тогда выражение под логарифмом обращается в 0 у нижней границы.

[Ales]

С точностью до $x^2$:
$ \int\limits_{\arcsin \frac {x}{2}}^{\frac {\pi}{2} } {\ln \left( {2 \sin t - x}\right)} dt=\int\limits_{\frac {x}{2}}^{\frac {\pi}{2} } {\ln \left( {2 \sin t - x}\right)} dt=\int\limits_{0}^{\frac {\pi-x}{2} } {\ln \left( {2 \sin (t+\frac x 2) - x}\right)} dt=\int\limits_{0}^{\frac {\pi-x}{2} } {\ln (2 \sin t+x\cos t - x)} dt=$
$\int\limits_{0}^{\frac {\pi-x}{2} } {\ln (2 \sin t)+x \frac{(\cos t - 1)}{2 \sin t}} dt=\int\limits_{0}^{\frac {\pi-x}{2} } {\ln (2 \sin t) dt+x \int\limits_{0}^{\frac {\pi}{2} }\frac{(\cos t - 1)}{2 \sin t}} dt=$
$=\int\limits_{0}^{\frac {\pi}{2} } {\ln (2 \sin t) dt+ (\int\limits_{0}^{\frac {\pi}{2} }\frac{(\cos t - 1)}{2 \sin t}} dt-\frac {\ln 2} 2)x$

[ewert]

Xaliuss в сообщении #396135 писал(а):

Тогда выражение под логарифмом обращается в 0 у нижней границы.

Всё-таки напишите правильное выражение, а то остаётся лишь гадать, что Вы имели в виду. Проблема в том, что выражение под логарифмом меняет знак внутри промежутка интегрирования (если икс мал).

[Xaliuss]

$$\int\limits_{\arcsin \frac {x}{2}}^{\frac {\pi}{2} } {\ln \left( {2 \sin t - x}\right)} dt$$

И $0 \le x<2$

[Padawan]

Из общих соображений следует, что функция $\varphi(x)$ является аналитической в окрестности $x=0$. Рассмотрим при $\delta>0$ функции

$$\varphi_\delta(x)=\int\limits_{\arcsin\frac{x}{2}+\delta}^{\frac{\pi}{2}}\ln(2\sin t-x) dt$$

Они аналитичны в некоторой комплексной окрестности $x=0$ (интегрирование идет, например, по отрезку, соединяющему нижний и верхний предел, берется главная ветвь логарифма). Остается проверить, что $\varphi_\delta(x)$ равномерно сходится к $\varphi(x)$ в некоторой окрестности $x=0$ при $\delta\to 0$. Разность

$$ |\varphi(x)-\varphi_\delta(x)|=|\int\limits_{\arcsin\frac{x}{2}}^{\arcsin\frac{x}{2}+\delta}\ln(2\sin t-x)dt|\leqslant C\int\limits_0^\delta |\ln 2t| dt\to 0, \ \ \text{при} \ \ \delta\to 0 $$

$C$ -- некоторая константа, зависящая от выбранной окрестности нуля.