Тригонометрическое равенство.

[MrDindows]

Помогите пожалуйста доказать:
$\cos{\frac{3\pi}{7}}+\cos{\frac{\pi}{7}}-\cos{\frac{2\pi}{7}=0.5$

Сам пытался, но у меня всё сводится к кубическому уравнению относительно $\cos{\frac{\pi}{7}}$, а тождество не смог получить(

[mihailm]

так это уже пол док-ва, теперь пишем уравнение шестой степени на ваш косинус и проверяем делимость)

-- Пт янв 07, 2011 14:14:18 --

ну и последнее проверить что частное не ноль

[MrDindows]

mihailm в сообщении #396269 писал(а):

так это уже пол док-ва, теперь пишем уравнение шестой степени на ваш косинус и проверяем делимость)

-- Пт янв 07, 2011 14:14:18 --

ну и последнее проверить что частное не ноль

Не понял..., где взять уравнение шестой степени?)
$8\cos^3{\frac\pi7}-4\cos^2{\frac\pi7}-4\cos{\frac\pi7}+1=0$

[Gortaur]

Делимость-то уже и здесь можно проверять, в чем проблема?

[MrDindows]

Делимость на что?)

[mihailm]

ну или седьмой) например $\cos(7x)=-1$
вместо икс $\frac{\pi}{7}$ и раскрываете

[mihiv]

Проще всего,наверное,обратить внимание,что $e^{\frac {i\pi }7}$ корень 7-й степени из $-1$.

[MrDindows]

mihailm в сообщении #396277 писал(а):

ну или седьмой) например $\cos(7x)=-1$
вместо икс $\frac{\pi}{7}$ и раскрываете

$\cos7x=64\cos^7x-112\cos^5x+56\cos^3x-7\cos x$
Спасибо, раз 5 разлаживал, пока правильно не получилось)) Поделил, всё норм.

mihiv в сообщении #396289 писал(а):

Проще всего,наверное,обратить внимание,что $e^{\frac {i\pi }7}$ корень 7-й степени из $-1$.

Задание какбы со школьной олимпиады, поэтому даже если я обращу на это внимание, толку не будет)

Задача была такая:
В треугольнике углы относятся как $1:2:4$. Доказать что для его сторон выполняется равенство $\frac1a=\frac1b+\frac1c$

Я подключил теорему синусов и получил то тождество...А можно ли решить как-то иначе?

[Алексей К.]

Объясню то же самое подробнее.
Обозначу $x=\frac\pi7$, $y=\cos x$. Вы уже получили соотношение $8y^3-4y^2-4y+1=0$.
Чтобы убедиться в его правильности, будем исходить из того, что $\cos 7x+1=0$.
То есть $64y^7-112y^5+56y^3-7y+1=0$.
Вам предлагается разложить эту штуку на множители, дабы узнать: не появится ли среди множителей Ваш полином?
Для чего и поделить этот полином 7-й степени на Ваш.
Поделится --- ещё раз попробовать поделить...

-- 07 янв 2011, 15:53 --

Ну, мы с Вами одновременно разобрались, я всё же отправил свою пояснялку.