Размерность собственного подпространства

[caxap]

Докажите, что кратность собственного значения линейного оператора не меньше размерности соответствующего собственного подпространства этого оператора.

(Оффтоп)

Собственное подпространство $\mathfrak L(\mathcal A,\lambda)$ линейного оператора $\mathcal A$ -- это множество собственных векторов, отвечающих собственному значению $\lambda$, а также нулевой вектор.

Пусть имеются с. з. $\lambda_1=\ldots=\lambda_k$. Для $\lambda_1$ (как будто была бы кратность 1) собственное подпространство будет одномерно. Для $\lambda_2$ -- тоже, но т. к. $\lambda_1=\lambda_2$, то их собственные векторы могут совпадать и поэтому объединённое множество собственных векторов, соответствующих $\lambda_1$ и $\lambda_k$ может быть как одномерно, так и двумерно. И т. д.: размерность объединённого множество с.в., соответствующих $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ будет в диапазоне от $1$ от $k$.

Я понимаю, что тут со строгостью проблемы. Но не понимаю, с чем вообще можно связать кратность, чтобы сделать нормальное доказательство?

[caxap]

Может как-то надо использовать жорданову форму?

[Xaositect]

Ну, если Вы жорданову форму уже знаете, то кратность - это кол-во $\lambda$ на диагонали, а рассматриваемая размерность (геом. кратность) - это кол-во клеток с $\lambda$. Потому как в жордановом базисе каждой клетке соответствует один собств. вектор и мб несколько присоединенных.

Ну а проще можно сказать, что ограничение оператора на собственное пространство есть $\lambda I$, а у ограничения л-н с.в. с данным значением не может быть больше, чем у исходного.

[Ales]

Рассмотрите оператор в следующем базисе: базис собственного пространства + базис его дополнения.

[ewert]

Это -- весьма нетривиальное утверждение, и ни из каких общих соображений так просто не следует. Из жордановой формы следует, разумеется, мгновенно, однако надо ещё доказать существование такой формы. Собственно, всё сводится вот к чему. Собственное подпространство -- это часть корневого подпространства, т.е. такого, каждый элемент которого обнуляется хоть какой-то степенью $(A-\lambda I)^k$. Корневое подпространство, разумеется, инвариантно (как и собственное). Так вот: доказываемое утверждение сводится к тому, что это подпространство -- не только инвариантное, но и приводящее, т.е. что существует такое дополнение к нему, которое также является инвариантным. А это нетривиально.

[caxap]

Xaositect в сообщении #395909 писал(а):

кратность - это кол-во $\lambda$ на диагонали, а рассматриваемая размерность (геом. кратность) - это кол-во клеток с $\lambda$.

Ух ты. А в моей книжке (Канатников, Крищенко) просто конец параграфа про жордановы формы замят и этого факта я не знал. Спасибо. Тогда всё просто.

Xaositect в сообщении #395909 писал(а):

а у ограничения л-н с.в.

А что такое л-н?

Ales в сообщении #395910 писал(а):

Рассмотрите оператор в следующем базисе: базис собственного пространства + базис его дополнения.

А как это можно связать с кратностью?

(Оффтоп)

Это как Пойа в "Как решать задачу" писал, что если, например, нужно доказать параллельность двух прямых в геометрической задаче, надо вообще подумать -- а какие я теоремы знаю, которые заканчиваются на "тогда прямые параллельны" или наоборот -- у каких теорем начало совпадает с условием задачи.
Так вот, для меня пока основная проблема -- вообще как-то приплести сюда кратность корня.

(Оффтоп)

ewert, если четсно, ничего не понял

[Ales]

caxap в сообщении #395930 писал(а):

А как это можно связать с кратностью?

Если "кратность" - это кратность корня характеристического многочлена, то надо посчитать характеристический многочлен.

[ewert]

Ales в сообщении #395910 писал(а):

Рассмотрите оператор в следующем базисе: базис собственного пространства + базис его дополнения.

Ничего не выйдет -- это пара подпространств, вообще говоря, не приводящая (и не может быть выбрана таковой).

[Ales]

ewert в сообщении #395938 писал(а):

Ales в сообщении #395910 писал(а):

Рассмотрите оператор в следующем базисе: базис собственного пространства + базис его дополнения.

Ничего не выйдет -- это пара подпространств, вообще говоря, не приводящая (и не может быть выбрана таковой).

"не приводящая" к чему?

[ewert]

Ales в сообщении #395939 писал(а):

"не приводящая" к чему?

Два или несколько подпространств называются приводящими, если всё пространство есть их прямая сумма и при этом каждое из них инвариантно. В этом (и только в этом) случае матрица оператора в соответствующем базисе принимает блочно-диагональный вид.

[Ales]

ewert в сообщении #395941 писал(а):

Ales в сообщении #395939 писал(а):

"не приводящая" к чему?

Два или несколько подпространств называются приводящими, если всё пространство есть их прямая сумма и при этом каждое из них инвариантно. В этом (и только в этом) случае матрица оператора в соответствующем базисе принимает блочно-диагональный вид.

Чтобы решить этот вопрос, не обязателен блочно-диагональный вид.
Ведь надо считать определитель, достаточно блочно-треугольный вид.

[ewert]

Ales в сообщении #395943 писал(а):

Ведь надо считать определитель, достаточно блочно-треугольный вид.

Вот последний термин для меня загадка. Но, тем не менее -- возражение снимаю. Вы правы, достаточно иметь подбазис в собственном подпространстве. Чего-то я не в ту сторону задумался.

[Ales]

ewert в сообщении #396080 писал(а):

Вот последний термин для меня загадка.

Я его сам придумал.
Имел в виду, что с одной стороны от диагонали матрицы то, что нужно (нули, где надо), а с другой - все равно что.