Помогите решить систему дифф-х уравн. операторным способом

[Sverest]

$\left\{ \begin{array}{l} x_1'(t)=7x_2+9x_3,\\ x_2'(t)=x_2,\\ x_3'(t)=x_1+13x_2 \end{array} \right. x_1(0)=1;~x_2(0)=1;~x_3(0)=2 \\ \\ x_1=x_1(t)\doteq X_1(p)=X_1 \\ x_2=x_2(t)\doteq X_2(p)=X_2 \\x_3=x_3(t)\doteq X_3(p)=X_3\\ \\ x_1'\doteq pX_1-1;~~~x_2'\doteq pX_2-1;~~~x_3'\doteq pX_3-2;~~~\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} pX_1-7X_2-9X_3=1,\\ pX_2-X_2=1,\\ -X_1-13X_2+pX_3=2 \end{array} \right. \\ \\ $
$ X_2=\frac{1}{p-1};~~~X_1=-2-\frac{13}{p-1}+pX_3;~~~p(-2-\frac{13}{p-1}+pX_3)-\frac{7}{p-1}-9X_3=1;\\ \\ -2p-\frac{13p}{p-1}+p^2X_3-\frac{7}{p-1}-9X_3=1 \\ \\ X_3(p^2-9)=\frac{p-1+2p(p-1)+13p+7}{p-1}\\ \\ X_3=\frac{2p^2+12p+6}{(p-1)(p^2-9)}\\ \\ X_1=-2-\frac{13}{p-1}+p \cdot\frac{2p^2+12p+6}{(p-1)(p^2-9)}\\ \\ X_1=\frac{-2(p-1)(p^2-9)-13(p^2-9)+p(2p^2+12p+6)}{(p-1)(p^2-9)} \\ \\ X_1=\frac{-2p^3+18p+2p^2-18-13p^2+117+2p^3+12p^2+6p}{(p-1)(p^2-9)}\\ \\ X_1=\frac {24p+p^2+99}{(p-1)(p^2-9)}\\ \\ X_2=\frac{1}{p-1}\doteq e^t $
Осталось найти оригиналы $X_1;~X_2$ помоему надо разбить на дроби, только не пойму как

[Sverest]

Я там опечатался надо найти оригиналы $X_1;~X_3$

[Tlalok]

Дроби надо разбить на элементарные

-- Сб дек 18, 2010 23:18:27 --

Дроби надо разбить на элементарные

[Sverest]

Дело в том, что я забыл как разбивать дроби на элементарные, можете мне напомнить?

[Sverest]

$\frac{2p^2+12p+6}{(p-1)(p^2-9)}=\frac{A}{p-1}+\frac{Bp+C}{p^2-9} \\ \\ \frac{2p^2+12p+6}{(p-1)(p^2-9)}=\frac{A(p^2-9)+(Bp+C)(p-1)}{(p-1)(p^2-9)}\\\\ 2p^2+12p+6 \equiv Ap^2-9A+Bp^2-Bp+Cp-C \\ \\ Ap^2-9A+Bp^2-Bp+Cp-C=(A+B)p^2+(C-B)p+(-9A-C)\\ \\ 2=A+B\\ 12=C-B\\ 6=-9A-C\\ B=2-A~~~C=12+2-A~~~~6=-9A-(14-A)\\\\ A=-\frac{20}{8}~~~B=\frac92~~~~C=\frac{33}{2}\\\\ \frac{2p^2+12p+6}{(p-1)(p^2-9)}=-\frac52 \frac{1}{p-1}+\frac32 \frac{3p+11}{p^2-9}\\ \\ \frac{p^2+24p+99}{(p-1)(p^2-9)}\\ \\ 1=A+B\\ 24=C-B\\ 99=-9A-C\\ A=-\frac{31}{2}~~~~B=\frac{31}{2}~~~C=\frac{81}{2}\\ $
$\\ -\frac{31}{2} \frac{1}{p-1}+ \frac{\frac{33}{2} p+\frac{81}{2}}{p^2-9} $

Теперь нужно найти оригиналы $-\frac52 \frac{1}{p-1}+\frac32 \frac{3p+11}{p^2-9}~~~~~~-\frac{31}{2} \frac{1}{p-1}+ \frac{\frac{33}{2} p+\frac{81}{2}}{p^2-9}$
подскажите как

[Tlalok]

Все очень просто, у нас в учебнике есть таблица оригиналов и изображений. Как вариант воспользуйтесь обратным преобразованием Лапласса.

Для справки:

$$\frac{1}{{p - a}} \buildrel\textstyle.\over= {e^{at}};\,\,\frac{p}{{{p^2} - {a^2}}} \buildrel\textstyle.\over= {{\rm ch}\nolimits} at;\,\,\frac{a}{{{p^2} - {a^2}}} \buildrel\textstyle.\over= {{\rm sh}\nolimits} at$$

Учебник: Овчинников П. Ф. Высшая математика. В 2-х частях. Часть 2.

-- Пт дек 24, 2010 18:48:27 --

Ответ для справки:

$$\left\{ \begin{array}{l}{x_1}\left( t \right) = \frac{{33}}{2}{{\rm ch}\nolimits} \left( {3t} \right) + \frac{{27}}{2}{{\rm sh}\nolimits} \left( {3t} \right) - \frac{{31}}{2}{e^t}\\{x_2}\left( t \right) = {e^t}\\{x_3}\left( t \right) = \frac{9}{2}{{\rm ch}\nolimits} \left( {3t} \right) + \frac{{11}}{2}{{\rm sh}\nolimits} \left( {3t} \right) - \frac{5}{2}{e^t}\end{array} \right.$$

[Sverest]

Я просто взял и разложил $p^2-9$ на $(p-3)(p+3)$, и разложил дробь еще раз на элементарные
получилось
$ X_3=-\frac52\frac {1}{p-1}-\frac12 \frac{1}{p-3} +5\frac{1}{p+3} \doteq -\frac52 e^t-\frac12 e^{3t}+5 e^{3t}=x_3 $
$X_1=-\frac{31}{2}\frac {1}{p-1}+\frac32 \frac{1}{p-3} +\frac{30}{2}\frac{1}{p+3} \doteq -\frac{31}{2}e^t+\frac32 e^{3t} +\frac{30}{2}e^{3t}=x_1$

Есть ли взаимосвязь между $sh, ch$ и $e$? Чтоб с ответом свериться.
Еще как в $\TeX$ можно записать равно с точками сверху и снизу?

[Tlalok]

Sverest в сообщении #395041 писал(а):

Я просто взял и разложил $p^2-9$ на $(p-3)(p+3)$, и разложил дробь еще раз на элементарные...

Это не ошибка, но на мой взгляд не рационально.

-- Ср янв 05, 2011 17:07:31 --

Sverest в сообщении #395041 писал(а):

$ X_3=-\frac52\frac {1}{p-1}-\frac12 \frac{1}{p-3} +5\frac{1}{p+3} \doteq -\frac52 e^t-\frac12 e^{3t}+5 e^{3t}=x_3 $
$X_1=-\frac{31}{2}\frac {1}{p-1}+\frac32 \frac{1}{p-3} +\frac{30}{2}\frac{1}{p+3} \doteq -\frac{31}{2}e^t+\frac32 e^{3t} +\frac{30}{2}e^{3t}=x_1$

Из Вашей записи следует, что два различныx изображения $\frac{1}{p-3}$ и $\frac{1}{p+3}$ имеют один и тот же оригинал $e^{3t}$

-- Ср янв 05, 2011 17:13:18 --

Sverest в сообщении #395041 писал(а):

Есть ли взаимосвязь между $sh, ch$ и $e$? Чтоб с ответом свериться.

Конечно есть. $sh, ch$ - это не что иное, как гиперболический синус и гиперболический косинус. А связь с $e$ следует непосредственно из определения этих функций.

[Sverest]

Цитата:

Из Вашей записи следует, что два различныx изображения $\frac{1}{p-3}$ и $\frac{1}{p+3}$ имеют один и тот же оригинал $e^{3t}$

Я наверно минус пропустил? Или не в этом дело?

[Tlalok]

Sverest в сообщении #395738 писал(а):

Цитата:

Из Вашей записи следует, что два различныx изображения $\frac{1}{p-3}$ и $\frac{1}{p+3}$ имеют один и тот же оригинал $e^{3t}$

Я наверно минус пропустил? Или не в этом дело?

а сами Вы как думаете?