Марковская цепь

[Gortaur]

У нас есть однородная Марковская цепь в непрерывном времени $X_t$ c состояниями $x_1,...,x_n$. Пусть

$$ p_{ij}(t) = P[X_t = x_j|X_0 = x_i]. $$

Тогда

$$ \sum\limits_{j=1}^n p_{ij}(t) = 1 $$

и

$$ p_{ij}(t+s) = \sum\limits_{k=1}^n p_{ik}(t)p_{kj}(s). $$

Допустим, $p_{ij}(t) = 0$ для всех $t\in [0,T]$. Как показать, что
$p_{ij}(t) = 0$ для любых $t$?

У меня получилось так: $p_{ij}(0) = \delta_{ij}$ и

$$ \frac{d}{dt}p_{ij}(t) = \sum\limits_{k=1}^n\lambda_{ik}(p_{ik}(t) - p_{ij}(t)), $$

где

$$ \lambda_{ik} = \lim\limits_{t\to 0}\frac{p_{ik}(t)}{t}. $$

Дальше вроде должно быть просто, но не выходит.

[Хорхе]

Можно так: просто доказать, что во вложенной цепи Маркова состояние $j$ не достижимо из $i$. Это совсем не трудно.

[Gortaur]

Я уже прочитал про эргодичность Марковских цепей (правда, в википедии)- там есть похожий факт: следующие утверждения эквивалентны
В. Для некоторого t > 0 матрица строго положительна (то есть Pij(t) > 0 для всех i,j).
Г. Для всех t > 0 матрица строго положительна.

Есть ли понятие эргодичности для произвольного Марковского процесса (а то что-то не могу найти)