Вывод уравнения движения

[karlicos]

Задача - есть тело на расстоянии орбиты Земли($ r = 150 \cdot 10^9 $ м) от Солнца($ M =2 \cdot 10^{30} $ кг). Начальная скорость равна нулю. В задаче надо найти время падения этого тела на Солнце и время на прохождение первой половины расстояние - фактически надо найти зависимость x(t).

Ну сложность задачи - в том, что ускорение зависит от координаты: $ \ddot{x} = - G \frac{M}{x^2} $(начало отсчета свяжем с Солнцем). Получится уравнение: $ \ddot{x} x^2 = - GM $(1)

С другой стороны, полная энергия в системе сохраняется. Пусть масса тела - m. Тогда:
$ \frac{m \dot{x}^2}{2} + G \frac{M m}{x} = const $
Продифференциируем обе части:
$ \frac{m 2 \dot{x} \ddot{x}}{2} - G \frac{M m}{x^2} = 0 $
Разделим на m, домножим все на $ x^2 $ и перенесем константу вправо:
$ x^2 \dot{x} \ddot{x} = GM $(2)
А что делать с этими уравнениями, я не очень понимаю. Можно, например, разделить (2) на (1), но тогда получится $ \dot{x} = -1 $, то есть $ x = -t + C $, что наверняка, неправда. В общем, подскажите что я делаю не так, и как с этим разобраться.

[Munin]

Закон сохранения энергии - не независимое уравнение, а следствие Второго закона Ньютона. Так что обращаться с ними как с системой уравнений нельзя.

Зато можно заметить, что закон сохранения энергии - это уже готовое дифференциальное уравнение первого порядка, только решай. Константу надо выбрать фиксированным числом, определяемым начальными условиями (поскольку она есть константа интегрирования, возникшая при переходе от уравнения второго порядка - Второго закона Ньютона - к уравнению первого порядка).

-- 05.01.2011 19:18:18 --

karlicos в сообщении #395729 писал(а):

Тогда:
$ \frac{m \dot{x}^2}{2} + G \frac{M m}{x} = const $
Продифференциируем обе части:
$ \frac{m 2 \dot{x} \ddot{x}}{2} - G \frac{M m}{x^2} = 0 $

Техническая ошибка: первое слагаемое вы продифференцировали по $t,$ а второе по $x.$ Когда исправите, увидите, что это дифференцирование ничего полезного не дало, зато ошибочный результат $\dot{x}=-1$ исчез.

[Teplorod]

Цитата:

Задача - есть тело на расстоянии орбиты Земли( м) от Солнца( кг). Начальная скорость равна нулю. В задаче надо найти время падения этого тела на Солнце и время на прохождение первой половины расстояние.

Мне кажется, что эта задача решается легче:
Вроде понятно, что время падения тела равно половине периода $T_e$ движения спутника по выродившейся эллиптической орбите с главной полуосью $\frac{R}{2}$. Период движения спутника ${T}_{c}$ по круговой орбите $R$ можно рассчитать из уравнения движения $mR{\left(\frac{2\pi }{{T}_{c}} \right)}^{2}=\frac{GmM}{{R}^{2}}$- ${T}_{c}=2\pi \sqrt\frac{{R}^{3}}{GM}$.
По третьему закону Кеплера ${\left(\frac{{T}_{e}}{{T}_{c}} \right)}^{2}={\left(\frac{\frac{R}{2}}{R} \right)}^{3}$. Отсюда для времени падения $T=\frac{{T}_{e}}{2}=\pi \sqrt \frac{{R}^{3}}{8GM}$.

[karlicos]

Munin
Ага, спасибо, про техническую ошибку понял и получил нормальное дифференциальное уравнение первого порядка, но интеграл там ужасный получается. Наверное, Teplorod прав, по идее там есть куча задач на орбиты. Спасибо всем!

[Munin]

karlicos в сообщении #395742 писал(а):

Ага, спасибо, про техническую ошибку понял и получил нормальное дифференциальное уравнение первого порядка, но интеграл там ужасный получается.

Ужасный, но классический для движения в потенциале.

А то, что ваше движение есть кеплерово с эксцентриситетом 1, я даже как-то постеснялся упоминать - думал, вы сами знаете.

[Ales]

karlicos в сообщении #395729 писал(а):

С другой стороны, полная энергия в системе сохраняется. Пусть масса тела - m. Тогда:
$ \frac{m \dot{x}^2}{2} + G \frac{M m}{x} = const $

На самом деле так:
$ \frac{m \dot{x}^2}{2} - G \frac{M m}{x} = H$ - энергия.

[karlicos]

Ales в сообщении #395754 писал(а):

На самом деле так:
$ \frac{m \dot{x}^2}{2} - G \frac{M m}{x} = H$ - энергия.

не, энергия с плюсом. ведь $ \frac{mv_{max}^2}{2} $ должно быть равно $ G\frac{M}{x_{0}} $.

[Ales]

Отрицательная энергия - это плохо. Но в интернете куча советов, как от нее уберечься.

-- Ср янв 05, 2011 20:43:37 --

karlicos в сообщении #395758 писал(а):

Ales в сообщении #395754 писал(а):

На самом деле так:
$ \frac{m \dot{x}^2}{2} - G \frac{M m}{x} = H$ - энергия.

не, энергия с плюсом. ведь $ \frac{mv_{max}^2}{2} $ должно быть равно $ G\frac{M}{x_{0}} $.

Вблизи Солнца потенциальная энергия велика (стремится к бесконечности).
Кинетическая энергия всегда положительна.
В сумме они должны давать постоянное число.
Положительное + бесконечное = постоянное. Отсюда бесконечное - отрицательное.

-- Ср янв 05, 2011 20:50:30 --

Но чтобы решить задачу, лучше всего применить 3-ий закон Кеплера.
Для этого достаточно понять как выглядит эллиптическая орбита, пределом которой является падение по прямой.