Показать, что матрицы образуют поле

[dmitryf]

Не могу сообразить как решаются подобные задачи, например:

Показать, что матрицы вида $\left( \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array} \right)$ , где $b \subset Z_3 $, образуют поле из 9 элементов и что мультипликативная группа этого поля циклическая порядка 8.

По определению поля, каждый ненулевой элемент должен быть обратим по умножению, то есть определитель этих матриц должен быть не нуль, это видно потому что определитель всегда больше нуля, правильные рассуждения? Хотя, например, для другого подобного примера так просто это не скажешь.

Дальше мне не очень понятно, почему элементов будет 9, ведь в качестве a можно брать любое число (в условие про это ничего нет)?

С последним вопросом тоже не ясно, откуда возьмется конечный порядок, если a произвольное число.

Спасибо.

[Lazy]

Это очень просто

$Z_3$ - это вычеты по модулю 3, то есть целые положительные числа: 0, 1 и 2. Оставьте $a$ как есть - просто неким объектом, а на место $b$ подставьте все возможные комбинации значений вычетов. Получим ровно 9 матриц.

Ну и далее - проверка аксиом поля и порядок группы (который будет конечным). Оставьте вы это $a$ абстрактным объектом

[bot]

В конечном поле больше/меньше не бывает.
Если $b\in \mathbb Z_3$, то и $a\in \mathbb Z_3$. Иначе как перемножать-то?
Элементами $\mathbb Z_3$ удобнее считать не $0,1,2$, а $-1,0,1$.

[dmitryf]

Lazy в сообщении #395645 писал(а):

Это очень просто

$Z_3$ - это вычеты по модулю 3, то есть целые положительные числа: 0, 1 и 2. Оставьте $a$ как есть - просто неким объектом, а на место $b$ подставьте все возможные комбинации значений вычетов. Получим ровно 9 матриц.

В том то и дело, что если подставить вместо a и b получим 9 (следующий комментарий это разъяснил).

Lazy в сообщении #395645 писал(а):

Ну и далее - проверка аксиом поля и порядок группы (который будет конечным). Оставьте вы это $a$ абстрактным объектом

Угу, с проверкой аксиом ясно, а как порядок группы просто проверить?

[Null]

Все конечные поля имеют в качестве мультипликативной группы циклическую.

[bot]

dmitryf в сообщении #395662 писал(а):

а как порядок группы просто проверить?

$9-1=8$.

[maxmatem]

Цитата:

Не могу сообразить как решаются подобные задачи,

Такие задачи решаются , простой проверкой определения. И всё! Просто надо навык выработать при решении таких стандартных задач.

[Lazy]

Черт... Насчет того, что и $a$ и $b$ должны быть вычетами по модулю три я и не подумал . Запомню!

Далее. Насколько я понимаю - циклической называется группа, порожденная степенями одного элемента. Порядок этой группы есть кардинальное число (то есть мощность) образованного таким образом множества.

Значит, если берем цикличность по умножению, то выберем любой элемент поля и будем умножать его сам на себя до тех пор, пока элементы не начнут повторяться. Посчитаем число уникальных образованных элементов, что и будет порядком циклической группы!

[dmitryf]

Lazy в сообщении #395670 писал(а):

Значит, если берем цикличность по умножению, то выберем любой элемент поля и будем умножать его сам на себя до тех пор, пока элементы не начнут повторяться. Посчитаем число уникальных образованных элементов, что и будет порядком циклической группы!

Поэтому я уточнил "просто". :) Там выше ответили. Спасибо.

[bot]

Первые два абзаца разумны, а последний - нет. Наугад взятый элемент не обязан быть образующим циклической группы.
Ну, тут какба потыкаться надо, если есть чуй или повезёт, то можно расчитывать на удачу с первого раза.

[Lazy]

bot

Тогда как же найти образующий элемент циклической группы? Неужто перебором?

[bot]

dmitryf в сообщении #395674 писал(а):

Там выше ответили

Ответили на вопрос о порядке циклической группы, а требуется доказать цикличность - очевидно непосредственным указанием образующего. В задачах подобного уровня вряд ли можно расчитывать на владение более серьёзным материалом, о котором говорил maxmatem.

[dmitryf]

Lazy в сообщении #395681 писал(а):

bot

Тогда как же найти образующий элемент циклической группы? Неужто перебором?

Ага, особенно, когда неизвестен порядок группы. :)

[bot]

Lazy в сообщении #395681 писал(а):

Неужто перебором?

Им родимым. А чего испугались? Всего 8 элементов, некоторые в качестве опытного образца отпадают сразу - есть шанс попасть с первого раза.
Удобно матрицу разбить в сумму двух: $\begin{pmatrix}a& b\\ -b& a\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1& 0\\ 0& 1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0& 1\\ -1& 0\end{pmatrix}$
Действия с матрицами в таком виде должно Вам напомнить что-то знакомое.

[maxmatem]

Цитата:

расчитывать на владение более серьёзным материалом, о котором говорил maxmatem.

Да тут, не каким особо серьёзным материалом обладать и не нужно.