изоморфизмы функциоеальных пространств

[moscwicz]

Оно конечно понятно, что один дурак может столько вопросов задать, что десять умных не справятся.

Тем не менее: изоморфны ли $L^a(0,1)$ и $L^b(0,1)$?; $C[a,b]$ и $C^1[a,b]$? Этим вообще кто-нибудь интересовался? Ведь формулировки на поверхности лежат.

[ewert]

Если я правильно понимаю, вопрос навеян вот этой темой; но если так, то тут какая-то аберрация. Если бы $L^a[0;1]$ было бы изоморфно $L^b[0;1]$, то (при $a>b$, для определённости) $L^a[0;1]$ было бы подпространством $L^b[0;1]$. Что, естественно, невозможно, т.к. первое плотно во втором, но не совпадает с ним.

[moscwicz]

ewert в сообщении #395103 писал(а):

Если бы $L^a[0;1]$ было бы изоморфно $L^b[0;1]$, то (при $a>b$, для определённости) $L^a[0;1]$ было бы подпространством $L^b[0;1]$. Что, естественно, невозможно, т.к. первое плотно во втором, но не совпадает с ним.

Это просто неверные рассуждения. Контрпример. Если через $\tilde H^1(0,1)$ обозначить подпространство $H^1(0,1)$, состоящие из функций периода $1$, то $\tilde H^1(0,1)$ плотно в $L^2(0,1)$ и не совпадает с $L^2(0,1)$, но при этом $\tilde H^1(0,1)$ изоморфно $L^2(0,1)$.

Это если говорить формально. А по-существу,

ewert в сообщении #395103 писал(а):

Если бы $L^a[0;1]$ было бы изоморфно $L^b[0;1]$, то (при $a>b$, для определённости) $L^a[0;1]$ было бы подпространством $L^b[0;1]$

педагогам следует понимать, что из того, что два пространства $(X,\|\cdot\|_X)$ и $(Y,\|\cdot\|_Y)$, $X\subseteq Y$ изоморфны совсем не следует, что топология в $X$, индуцированная из $Y$ должна совпадать с родной топологией $X$ порожденной нормой $\|\cdot\|_X$.

[ewert]

moscwicz в сообщении #395104 писал(а):

Это просто неверные рассуждения.

Да, это каюсь (хотя и не понял, зачем там периодичность). Придётся к случаю -- ещё подумаю.

--------------------------
ПысПыс насчёт педагогичности, да ещё и назойливой -- не понял совершенно

[moscwicz]

периодичность удобна (мне) потому, что $\{e^{2\pi i x k}\}$ это базис в $L^2(0,1)$ и в $\tilde H^1(0,1)$ (но не во всем $H^1(0,1)$). Из этих соображений изоморфизм очень легко выписывается. Но можно и просто $H^1(0,1)$ использовать, да два бесконечномерных сепарабельных гильбертовых пространства изоморфны

[Munin]

Чё-то я не понял. Я вижу два вопроса:

moscwicz в сообщении #395082 писал(а):

изоморфны ли $L^a(0,1)$ и $L^b(0,1)$?



ewert в сообщении #395103 писал(а):

Если бы $L^a[0;1]$ было бы изоморфно $L^b[0;1]$...

и как мне кажется, их формулировки не совпадают. Нельзя ли пояснить, ответы на эти вопросы совпадают, или в теме приведён ответ только на один из них (какой)?

[moscwicz]

Munin Второе это не вопрос, а попытка решения
Ни на один мой вопрос ответа дано не было, я думаю, что эти вопросы не очень простые. Не в рамках этого форма, не очень простые, а вообще.

[ewert]

Munin в сообщении #395408 писал(а):

и как мне кажется, их формулировки не совпадают.

Если речь о скобках, то в случае интегральной метрики не важно, квадратные они или круглые.

[Munin]

А разве вы не огласили уже ответа? По крайней мере на "второй вопрос". Если на ваш ("первый") вопрос ответ сложен, то он меня пока и не интересует.

-- 05.01.2011 10:19:39 --

ewert
Для метрики, может быть, неважно, а для объёма пространства важно. Впрочем, это моя смутная догадка, а так - полагаюсь на ваши пояснения.

[ewert]

Munin в сообщении #395499 писал(а):

Для метрики, может быть, неважно, а для объёма пространства важно

А что такое "объём пространства"?...
Если имелись в виду множества функций, образующих пространство, то они фактически одинаковы, т.к. эти функции всё равно определены лишь с точностью до подмножеств меры ноль.

[Munin]

То есть функции, неограниченно растущие на краю интервала, одинаково входят или не входят в то и в другое пространство, так?

[ewert]

Munin в сообщении #395564 писал(а):

То есть функции, неограниченно растущие на краю интервала, одинаково входят или не входят в то и в другое пространство, так?

В частности.

[AD]

$L_1$ и $L_\infty$ никому не изомофрны, потому что у них шар квадратный (ну последнее еще и несепарабельно, но это скучно). $L_2$ никому не изомофрно, потому что у него шар круглый. Имхо, надо как-то измерить "круглость" шаров в пространстве. Может, как-то замерять отклонение от равенства параллелограмма? Я в это время суток ничего не соображаю, но вдруг кого-нибудь наведёт ...

На всякий случай также подмечу, что $C_1[a,b]\sim C[a,b]\oplus\mathbb{R}$ (неопределенный интеграл же)

Просто надеялся, что иногда повторять всякие тривиальности - полезно.

А еще на всякий случай надо бы уточнить, идет ли речь об изоморфизме пространств как банаховых, или, скажем, как линейных топологических.

[Munin]

А что такое "шар квадратный"?

[AD]

Munin в сообщении #396141 писал(а):

А что такое "шар квадратный"?

Ну в смысле не строго выпуклый. Сфера содержит отрезки. Это из области что норма не дифференцируема. Слышал краем уха какую-то теорию по этому поводу даже.