Про ФДУ, и про приложения.

[fara2]

Добрый всем вечер,
Очень прошу Вас помочь, объяснить фразу.
Дана задача (1) :
$ \left\{ {\frac {d}{ds}}y \left( s \right) =f \left( s,y \left( s \right) ,y \left( s-\tau \left( s \right) \right) \right) ,0\leq s {\rm \: \wedge \:}s\leq 1 \right\}; \left\{ y \left( \sigma \right) =\varphi \left( \sigma \right) ,\mu \leq \sigma{\rm \: \wedge \:}\sigma\leq 0 \right\} $
где y- непрерывна на отрезке $[\mu, 0]$, гладкая на отрезке $[ 0,1]$.
1.)Я понимаю эту задачу так, что ищется решение y на отрезке $[ 0,1]$, причем в точке $s=0$ удовлетворяет начальной функции. Верно?
2.)Следующая фраза меня ставит в тупик: "Выбрана функция $y_{{0}}$-(начальное приближение), непрерывна на отрезке $[/mu, 0]$, гладкая на отрезке $[ 0,1]$, удовлетворяющая условию в задаче (1)" Вопрос: под условием в задаче (1)-подразумевается то, что функция $y_{{0}}$ должна удовлетворять начальному условию на отрезке $[/mu, 0]$ и необязательно ФДУ. Просто, если рассуждать, если функция $y_{{0}}$ будет удовлетворять начальному условию + фду - получим решение задачи (по теореме существования и единственности), но начальное приближение не должно являться точным решением. Верно?
3.) Прошу помочь мне в поиске литературы по приложениям ФДУ( одно ФДУ с 1 постоянным лагом, постоянным запаздыванием ) Очень прошу Вас посоветовать мне, поделиться опытом, как можно составить модель, описываемую дифференциальным уравнением с одним запаздыванием.
Пример, модель Хатчинсона(там один постоянный лаг). Но это не нужно, к сожалению.
Нужна модель в экономическом направлении.
Для этого я набирала в поисковике Динамические модели с запаздывающим аргументом в экономике. Выдали мне Прасолова. -Приобрела, там не то, что нужно. -встречаются системы, распределенное запаздывание.
Пожалуйста, подкиньте меня в нужном направлениии.
Пожалуйста.Очень прошу помочь.

[MaximVD]

1) Решение действительно ищется на отрезке $[0,1]$, но условие должно выполняться не в точке $s = 0$, а на всём интервале $[\mu, 0]$, т.е. ищется решение на отрезке $[0,1]$ удовлетворяющее условию

$$ y( \sigma ) = \varphi( \sigma) \quad \forall \sigma \in [\mu, 0]. $$

2) Да, верно. Начальное приближение удовлетворяет условию на отрезке $[\mu, 0]$, а на отрезке $[0,1]$ может быть любой гладкой функцией.
3) Попробуйте поискать по ключевым словам, например "Запаздывающий аргумент Экономика".

[fara2]

MaximVD, спасибо за внимание к моей проблеме. Спасибо Вам огромное. Как Вы мне очень помогли.Книги и таким образом уже давно перерыты, придется искать в учебниках биологии, экономики и т.д. Модель Хатчинсона я и нашла в учебнике биологии. Вот смутно как-то, не поймешь в каком направлениии...Одну модель Вальраса -тож давно нашла.
Но не знаю, приимут ли...
У меня возник вопрос следующего характера.
Дана задача (1) и "выставим условия на некоторой достаточно большой области$E in X=C(0,1)$ функции $x, {\frac {d}{ds}}y \left( s \right) =x(s)$ Композиция $f(., y(.), w(.)) in X, y(s-/tau(s)=w)$ и выполняется условие Липшица: $ \left| -f \left( s,y+\Delta y,w+\Delta w \right) +f \left( s,y,w \right) +a\Delta y \right| \leq b_{{1}} \left| \Delta y \right| +b_{{ 2}} \left| \Delta w \right| $ где функции $a, b_i$ -непрерывны, причем $ 0\leq b_{{i}}$
Липшевость означает ограниченные производные ${\frac {d}{dx}}f_{{y}} \left( x \right) , {\frac {d}{dx}}f_{{w}} \left( x \right) $ некоторыми константами.
(Эльсгольц.)
Используя правило треугольника и учитывая область определения $s in [0,1]$ имеем:
$0\leq \left| a \right| {\rm \: \wedge \:} \left| a \right| \leq { \frac {d}{dx}}f_{{y}} \left( x \right) {\rm \: \wedge \:}{\frac {d}{dx }}f_{{y}} \left( x \right) \leq b_{{1}}, 0\leq {\frac {d}{dx}}f_{{w}} \left( x \right) {\rm \: \wedge \:}{ \frac {d}{dx}}f_{{w}} \left( x \right) \leq b_{{2}} $
помогите, пожалуйста.

-- Пт ноя 26, 2010 16:59:07 --

MaximVD, спасибо за внимание к моей проблеме. Спасибо Вам огромное. Как Вы мне очень помогли.Книги и таким образом уже давно перерыты, придется искать в учебниках биологии, экономики и т.д. Модель Хатчинсона я и нашла в учебнике биологии. Вот смутно как-то, не поймешь в каком направлениии...Одну модель Вальраса -тож давно нашла.
Но не знаю, приимут ли...
У меня возник вопрос следующего характера.
Дана задача (1) и "выставим условия на некоторой достаточно большой области E принадлежит $ X=C(0,1)$ функции $x, {\frac {d}{ds}}y \left( s \right) =x(s)$ Композиция$f(., y(.), w(.)) $ принадлежит$E , y(s-\tau (s))=w$ и выполняется условие Липшица: $ \left| f \left( .,y+\Delta y,w+\Delta w \right) -f \left( .,y,w \right) -a\Delta y \right| \leq b_{{1}} \left| \Delta y \right| +b_{{ 2}} \left| \Delta w \right| $ где функции $a, b_i$ -непрерывны, причем $ 0\leq b_{{i}}$
Липшевость означает ограниченные производные ${\frac {d}{ds}}f_{{y}} \left( s \right) , {\frac {d}{ds}}f_{{w}} \left( s \right) $ некоторыми константами.
(Эльсгольц.)
Используя правило треугольника и учитывая область определения ${\it in} \left( s,[0,1] \right)$ имеем:
$0\leq \left| a \right| {\rm \: \wedge \:} \left| a \right| \leq { \frac {d}{ds}}f_{{y}} \left( s \right) {\rm \: \wedge \:}{\frac {d}{ds }}f_{{y}} \left( s \right) \leq b_{{1}}, 0\leq {\frac {d}{ds}}f_{{w}} \left( s \right) {\rm \: \wedge \:}{ \frac {d}{ds}}f_{{w}} \left( s \right) \leq b_{{2}} $
помогите, пожалуйста. Верно ли думаю?

[MaximVD]

Уточните, что означает $\frac{d}{dx} f_y(x)$. Здесь имеется в виду
$\frac{d}{dx}\left( \frac{\partial}{\partial y} f(x) \right)$?
Для каких значений переменных выполнено условие Липшица?

По поводу набора формул. Обычно пишут $E \subset X$, перед "in" ( и "tau") ставят backslash - \. Получится $\in$ и $\tau$. Неравенство, обычно, пишут подряд $0 \le |a| \le \frac{d}{dx}f_y(x) \le b_1$ и т.д. Так удобнее и понятнее читать.

[fara2]

MaximVD в сообщении #380916 писал(а):

Уточните, что означает $\frac{d}{dx} f_y(x)$. Здесь имеется в виду
$\frac{d}{dx}\left( \frac{\partial}{\partial y} f(x) \right)$?

нет, здесь имеется ввиду частная производная по y и по w соответсвенно.
Просто Latex я не владею, копирую формулы с Maple.
Липшевость указана.

fara2 в сообщении #380767 писал(а):

Дана задача (1) и "выставим условия на некоторой достаточно большой области$E \in X=C(0,1)$ функции $x, {\frac {d}{ds}}y \left( s \right) =x(s)$ Композиция $f(., y(.), w(.)) \in X, y(s-\tau(s)=w)$ и выполняется условие Липшица: $ \left| -f \left( s,y+\Delta y,w+\Delta w \right) +f \left( s,y,w \right) +a\Delta y \right| \leq b_{{1}} \left| \Delta y \right| +b_{{ 2}} \left| \Delta w \right| $ где функции $a, b_i$ -непрерывны, причем $ 0\leq b_{{i}}$

Верно ли думаю.

fara2 в сообщении #380767 писал(а):

Липшевость означает ограниченные производные $ f'_{{y}} \left( s \right) , f'_{{w}} \left( s \right) $ некоторыми константами.
(Эльсгольц.)
Используя правило треугольника и учитывая область определения $s \in [0,1]$ имеем:
$0<= \left| a \right| <= f'_{{y}} <= b_{{1}}, 0<= f'_{{w}} <= b_{{2}} $
помогите, пожалуйста. Верно ли думаю?

Спасибо за внимание.

[MaximVD]

Несколько непонятно, как получилось такое неравенство на производные. Для проверки, напишите, пожалуйста, поподробнее как Вы его получили.

[fara2]

Мы рассматриваем банаховые пространства.
Верно ли, что модуль в банаховом простанстве- норма?
$ \left| -f \left( .,y+\Delta y,w+\Delta w \right) +f \left( .,y,w \right) +a\Delta y \right|=|\Delta f -a \Delta y |=||\Delta f -a \Delta y||<=b_1 \Delta y + b_2\Delta w $
Отчего следует:
$0<=||\Delta f -a \Delta y||=\Delta f -a \Delta y<=b_1 \Delta y + b_2 \Delta w$
и соответственно вытекают неравенства
(Липшевость означает ограниченные производные некоторыми константами.
(Эльсгольц.))
$o<=a<=f'_y<=b_1, o<=f'_w<=b_2$
помогите, пожалуйста. Верно ли думаю?
$a(s)$, учитывая все определение полуупорядоченного банахова пространства, положительная функция, так ? Про $b_i>=0$- известно.

-- Пн ноя 29, 2010 23:32:28 --

С другой стороны, если учесть что $|a(s)|<=A$, A- положительная константа, значит $a(s)$ может быть отрицательным.
Пожалуйста, прошу помочь.

[MaximVD]

fara2 в сообщении #381886 писал(а):

Верно ли, что модуль в банаховом простанстве- норма?

К сожалению, неверно. Модуль элемента полуупорядоченного банахова пространства - есть элемент этого пространства, а норма элемента - это неотрицательное вещественное число. Простой пример - возьмём пространство $R^2$ с евклидовой нормой и определим в нём порядок так: $(x_1, x_2) \le (y_1, y_2)$, если $x_1 \le y_1$ и $x_2 \le y_2$. Модуль вектора $(x_1, x_2) \in R^2$, как элемента полуупорядоченного пространства, будет равен вектору $(|x_1|, |x_2|)$, а норма равна $\sqrt{ x_1^2 + x_2^2 }$.

Поэтому равенство $|\Delta f - a \Delta y| = \| \Delta f - a \Delta y \|$ неверно.

Функция $a$ может быть отрицательной. Никаких ограничений на её знак нет.

Для чего Вам нужны оценки производных? То есть, что именно Вы хотите получить?

[fara2]

Спасибо огромное за внимание.
1)Просто, я прочитала пример: Прямая линия $R$ - нормированное пространство, если для каждого $x \in R$ следует $||x||=|x|$.
2)Наверное, это из неравенства(это дано)
$|f(., y+\Delta y, w+\Delta w)-f(., y, w)-a*\Delta y| <= b1|\Delta y|+b2|\Delta w|$( Это понятно.)
вытекает с учетом определенности функции f на отрезке $[0,1]$ (мы на данном отрезке ищем решение): Цель: я хочу выразить производные чз $a(s), b1(s), b2(s)$.
$0<=|a|<=f`_y<=b1, 0<=f`_w<=b2$(это подсмотренная формула), где
$|a(s)|<=A, b1(s)+b2(s)>=B$ (как я понимаю,$A,B$ -максимумы функции на отрезке $[0,1]$ -верно?) Если неправильно, объясните, пожалуйста, что за константы...
Откуда следует , что коэффициенты дифференциального уравнения положительны при $y(s), w(s)$. Нужно в прогу включить.
3)почему я рассуждала, что модуль это норма в поллуупорядоченном банаховом пространстве.
просто прочитала такой пример:
В пространстве $ С[a,b]$ непрерывных функции на отрезке $[a,b]$ определим норму формулой $||f||=max_{a<=s<=b}|f(t)|$.
4)Возник другой вопрос:
Начнем с определения:
Порядковый отрезок -замкнутое множество ${x: |x-x_0|<=y}$. Ясно, что это замкнутый шар, верно?
Дано $|x(s)-x_0(s)|<=\delta (s)+c * \int _{0}^{s}\!\delta \left( t \right) {{\rm e}^{c \left( s-t \right) }}{dt}$ . Ясно, что правая часть последнего неравенства -это радиус, который надо найти. Верно?
Для того, чтобы задача решалась данным методом, необходимо , чтобы производная начального приближения удовлетворяла такому условию, так?
Следовательно, радиус надо найти(найти максимум правой части последнего неравенства на отрезке [0,1], на нем мы ищем решение). Вроде ничего, просто меня вызывает затруднение тот факт, что функция $\delta (s)$ -модуль некоторой функции, содержащии интеграл. И следовательно машина долго считает максимум, может как-то упростить, посоветуйте, пожалуйста.пожалуйста помогите.

[MaximVD]

2) Наверное, константа $A$ это максимум функции $a(s)$ на отрезке $[0,1]$, а $B$ - это минимум $b_1(s) + b_2(s)$ на $[0,1]$ (потому что неравенство в другую сторону). Хотя, сложно что-либо конкретное сказать. Может быть, $A$ - это максимум производной $f'_y$, а $B$ - максимум суммы $f'_y + f'_z$. Чтобы дать точный ответ, нужно прочитать полностью тот параграф, где про это написано.

4)К сожалению, снова неверно. Порядковый отрезок - это не замкнутый шар. Он всегда является замкнутым шаром разве что в случае вещественной прямой. Снова тот же пример: $R^2$ с евклидовой нормой, порядок вводим как и раньше. Возьмём, например, $x_0 = ( 0, 0 )$, $y = (1, 1)$, тогда порядковый отрезок - $| x - x_0 | \le y$ будет множество всех таких векторов $x = (x_1, x_2) \in R^2$, что $|x_1| \le 1$ и $|x_2| \le 1$, т.е. это квадрат с вершинами
(1, 1), (-1, 1), (1, -1), (-1, -1), а вовсе не круг. Порядковый отрезок в $R^2$, с введённым выше порядком, будет прямоугольником, а это совсем не круг.

Неравенство $|x(s) - x_0(s)| \le \delta(s) + c \int_0^s \delta(t) e^{c(s-t)}\,dt$ определяет множество функций, график которых на плоскости "не выходит из полосы, шириной $\delta(s) + c \int_0^s \delta(t) e^{c(s-t)}\,d$, вокруг кривой
$y = x_0(s)$". Максимум функции стоящей в правой части неравенства это - максимальная ширина этой "полосы", а не радиус шара с центром в точке $x_0$. Этот максимум будет минимальным радиусом шара с центром в $x_0$, в котором содержится указанное множество (если рассматривать шар в $C[0,1]$ со стандартной нормой).

[fara2]

Спасибо огромное за ответ,хоть с опозданием, $a$ во 2) может быть сильной производной Фреше?