элементарное доказательство независимости корней

[lofar]

Пусть $2, 3, \ldots, p_n$ --- первые $n$ простых чисел, положим $N=2\cdot 3\cdot\ldots\cdot p_n$. Cистема чисел $\{\sqrt{d}\colon d\mbox{ \em делит } N\}$ линейно независима над $\mathbb Q$. Известно ли элементарное (т. е. не использующее теории Галуа) доказательство этого факта? Если так, был бы рад узнать его.

[RIP]

По индукции очень легко доказать факт.
Пусть $\alpha,\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{Q}$. Тогда

$$\sqrt{\alpha}\in\mathbb{Q}(\sqrt{\alpha_1},\ldots,\sqrt{\alpha_n})\qquad\Leftrightarrow\qquad\alpha=\alpha_1^{k_1}\ldots\alpha_n^{k_n}\gamma^2,\ k_j\in\{0;1\},\ \gamma\in\mathbb{Q}.$$

Отсюда следует то, что надо.

[lofar]

Весьма благодарен! Ваше доказательство короче и проще моего, а главное, его легко можно разъяснить школьникам. Спасибо.