Хм. Предлагается такой план. Сразу отмечу, дифференцируемость

не нужна, достаточно непрерывности.
Положим
![$V(x),x \in [a,b]$ $V(x),x \in [a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/0/750b86d5791ae8c3da86cbca1e6fbcc282.png)
вариация

на отрезке
![$[a,x]$ $[a,x]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/8/78803621c5e4e61a79d2880c449812f382.png)
. Далее,

. Легко видеть, что

монотонны и их разность

. Сначала доказываем, что

непрерывна. У меня имеется набросок доказательства от противного. Затем, докажем. что монотонная непрерывная на
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
функция - абсолютно непрерывна. (Отсюда уже легко следует абс. непрерывность

). Рассмотрим

и её "перестановки", которые определяются следующим образом. Пусть
![$x_1=a \leqslant x_2 \leqslant .... \leqslant x_n=b \in [a,b]$ $x_1=a \leqslant x_2 \leqslant .... \leqslant x_n=b \in [a,b]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/4/104b5e97f8f8610978269ec2536df16182.png)
. Переставим интервалы
![$[x_k,x_{k+1}]$ $[x_k,x_{k+1}]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/b/33b568226f6d5a3b266e4865f3d236bd82.png)
"вместе с графиком

" произвольным образом, а затем двигая куски графика вверх-вниз склеим в непрерывную функцию.
Все эти функции равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. А вот теперь, действуя от противного, если

не является абс. непрерывной, то можно предъявить последовательность таких перестановок, которые все хуже и хуже устроены в точке

. По теореме Асколи-Арцела получаем противоречие.
-- Ср янв 05, 2011 00:12:19 --Ой, выдал желаемое за действительное. Точно, есть над чем подумать.