Самосопряженный элемент как сумма двух унитарных

[id]

Задачка: пусть $a$ есть самосопряженный элемент $C^*$-алгебры $\mathcal A$ такой, что $\| a \| \leq 1$. Тогда $a = b+c$, где $b,c \in \mathcal A$ есть унитарные элементы (т.е. $b b^* = b^* b = c c^* = c^* c = 1$).

Соображения:
Для начала легко увидеть, что это верно для $\mathcal A = \mathbb C$, буквально правило параллелограмма.

А в общем случае - рассматриваем коммутативную $C^*$-подалгебру $C^* (1,a) \subset \mathcal A$, порожденную единицей и элементом $a$. Как коммутативная $C^*$-алгебра, она изоморфна $C(\Sigma)$. В последней поточечно конструируем функцию $f$ с модулем, тождественно равным единице и вещественной частью равной $\frac 1 2 \hat a$, такую что $f+f^* = \hat a$; унитарность будет ибо модуль тождественно равен единице.
Непрерывность следует из непрерывности $\hat a$ и непрерывной зависимости мнимой части от вещественной.

После чего берем прообраз $f$ в $\mathcal A$ - и готово?