Алгебры и семимерная сфера

[paha]

кстати... я правда не знаю

сегодня спросил у своего завкафедрыой -- он назвал человека, который -- вероятно (sic!) может ответить

так что -- ищем)))ресёрчим

[bayak]

Bulinator в сообщении #393344 писал(а):

Я смирился, что группы нет...
Мне нужно что-нибудь похожее на группу, какое-нибудь обобщение, чтобы как-то умно это обобщение в частном случает давало группу и чтобы как-то было связано с .

А чем Вам не нравится алгебра Клиффорда $Cl(8)$ и соответствующая ей группа и алгебра Ли? Последняя изоморфна 28-мерной алгебре Ли линейных касательных векторных полей семимерной сферы.

[paha]

bayak в сообщении #394667 писал(а):

А чем Вам не нравится алгебра Клиффорда $Cl(0,8)$ и соответствующая ей группа и алгебра Ли? Последняя изоморфна 28-мерной алгебре Ли линейных касательных векторных полей семимерной сферы.

мы искали ассоциативные алгебры с делением

а откуда число 28?

-- Вс янв 02, 2011 23:56:24 --

bayak в сообщении #394667 писал(а):

Последняя изоморфна 28-мерной алгебре Ли линейных касательных векторных полей семимерной сферы.

вообще-то алгебра Ли касательных векторных полей (всех) на данном многообразии бесконечномерна, если что... даже на прямой:))

[bayak]

$28=8(8-1)/2$ - размерность $SO(8)$ и $Spin(8)$. А что касается размерности алгебры Ли линейных векторных полей семимерной сферы, то так я называю (по незнанию другого более подходящего термина) конечномерную матричную алгебру, которая действует в $R^{8}$ и порождает в нём касательные векторные поля к семимерным сферам с центром в нулевой точке. Однако каюсь, я ошибся, указав на $Cl(0,8)$, поскольку семь линейно-независимых векторных полей сферы служат генераторами алгебры Клиффорда $Cl(0,7)$.

[paha]

bayak в сообщении #394989 писал(а):

$28=8(8-1)/2$ - размерность $SO(8)$ и $Spin(8)$.

Это замечательно:) Но мы искали структуру группы на 7-мерной сфере, а не на 28-ми мерном многообразии $SO_8(\mathbb{R})$

-- Пн янв 03, 2011 22:25:35 --

bayak в сообщении #394989 писал(а):

конечномерную матричную алгебру, которая действует в $R^{8}$ и порождает в нём касательные векторные поля к семимерным сферам с центром в нулевой точке.

Что значит "алгебра $A$ действует на линейном пространстве $V$" я могу понять -- вероятно, Вы имеете ввиду представление $\rho:A\to {\rm End}\, V$. Но как совокупность линейных преобразований $\rho(A)$ может что-то порождать -- я не понимаю:(

[moscwicz]

Эх Игорь, Игорь

[bayak]

А почему в качестве структуры группы на 7-мерной сфере не использовать групповые структуры, которые получаются из алгебры линейных векторных полей этой сферы?
Если последовательно умножить матрицу $A$ на вектор-столбец пространства $V$ и на строку базисных элементов векторного поля, то мы получим линейное векторное поле?

[Bulinator]

bayak в сообщении #395005 писал(а):

А почему в качестве структуры группы на 7-мерной сфере

Мы же доказали, что ее нет.

[bayak]

Bulinator в сообщении #395007 писал(а):

Мы же доказали, что ее нет.

Но есть группы, которые скользят по этой сфере.

[Bulinator]

bayak в сообщении #395012 писал(а):

скользят по этой сфере.

Что значит "группы скользят по сфере"?

[paha]

bayak в сообщении #395005 писал(а):

использовать групповые структуры, которые получаются из алгебры линейных векторных полей этой сферы?

Рассмотрим алгебру Ли $L$ векторных полей на сфере $S^7$: для полей $X,Y:S^7\to TS^7$ их коммутатор задается стандартно $[X,Y]f=X(Yf)-Y(Xf)$.
Так эта алгебра Ли бесконечномерна. Какая же "групповая структура" из нее получается?

(Оффтоп)

В силу параллелизуемости сферы $S^7$ существует диффеоморфизм $\psi:S^{7}\times\mathbb{R}^7\to TS^7$. Фиксируем какой-нибудь базис $\{e_i\}\subset\mathbb{R}^7$. И положим $X_i$ -- такое векторное поле, для которого $X_i(x)=\psi(x,e_i)$. Ясно, что любое векторное поле имеет вид $X=\sum f_iX_i$, $f_i\in C^\infty(S^7)$.

Но даже это не помогает... Это означает лишь то, что $L$ является конечномерным модулем над $C^\infty(S^7)$, но размерность $L$ как алгебры Ли -- бесконечна.

[bayak]

paha в сообщении #395036 писал(а):

Рассмотрим алгебру Ли векторных полей на сфере : для полей их коммутатор задается стандартно .
Так эта алгебра Ли бесконечномерна. Какая же "групповая структура" из нее получается?

Ход ваших мыслей понятен - поскольку векторные поля произвольны, то и алгебра бесконечномерна. С другой стороны, если сузить класс векторных полей сферы, то и алгебра станет конечномерной. Дело за малым - научиться строить узкий класс касательных векторных полей сферы в явном виде. В случае семимерной сферы для этого следует задать ортогональные радиус-вектору $X$ линейные векторные поля $R^{8}$, ограничение которых на сферу $X^{2}=1$ и даст искомый узкий класс касательных векторных полей. Впрочем, может быть можно строить касательные векторные поля сфер прямо в координатном базисе многообразия сферы, но как-то сомнительно это.

-- Пт янв 07, 2011 11:53:16 --

Bulinator в сообщении #395013 писал(а):

Что значит "группы скользят по сфере"?

Логика этой метафоры такая - элементом группы служит линия тока векторного поля, которая лежит на (скользит по) сфере.

[moscwicz]

bayak в сообщении #396203 писал(а):

элементом группы служит линия тока векторного поля

эх Игорь, Игорь

[paha]

bayak в сообщении #396203 писал(а):

В случае семимерной сферы для этого следует задать ортогональные радиус-вектору $X$ линейные векторные поля $R^{8}$, ограничение которых на сферу $X^{2}=1$ и даст искомый узкий класс касательных векторных полей

если Вы рассматриваете сферу $S^7$ как подмножество $\mathbb{R}^8$, то множество векторных полей на сфере это

$$ L=\Gamma(TS^7)\simeq\{Y:S^7\to \mathbb{R}^8:(X,Y(X))=0\}. $$

Они образуют алгебру Ли (бесконечномерную) по отношению к указанной операции.
Векторные поля единичной длины являются сечениями расслоения единичных касательных векторов

$$ \Gamma(US^7)\simeq\{Y:S^7\to S^7:(X,Y(X))=0\} $$

но алгебру Ли не образуют... хотя бы потому, что алгебра обязана ноль содержать

[Munin]

bayak в сообщении #396203 писал(а):

элементом группы служит линия тока векторного поля

А групповая операция какая?