Вопрос по функции

[maxmatem]

Вот вопросик созрел.
Рассмотрим функцию
$\[ \phi (t) = \left\{ \begin{gathered} t^{n + 1} \sh(t);\,\,\,t \ne 0,n \in N \hfill \\ 0;\,\,\,\,t = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$


Ясно, что для$ \[t \geqslant 0\]$ имеем $\[\phi (t) \geqslant 0,\]$

Исследуем на непрерывность. Ясно , что в точках $\[\,t \ne 0\]$, она непрерывна.
Докажем, что она непрерывна в $\[t = 0\]$.
$\[ \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} t^{n + 1} \sh(t) = 0 = \phi (0) \]$

Теперь докажем , что ф-ия дифференцируема на всей прямой.
Ведь верно ,что в точках $\[\,t \ne 0\]$ она дифференцируема . И остаётся показать что она дифференцируема в точке $\[t = 0\]$.
$\[ \phi '(0) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{t^{n + 1} \sh(t)}} {t} = 0 \]$

Верно ли ,что $\[ \phi ^{(n)} (0) = 0 \]$
Мне кажется, что верно, я проверял по формуле Лейбница(для производных высшего порядка).

[Legioner93]

Нет, не верно. Производная порядка $(n+2)$ будет уже не ноль.
Например $(\sh(t)*t^2)''=t^2 \sh(t)+2 \sh(t) + 4t\ch(t)$
И тогда предел $\phi'''(0)=\lim_{t \to 0} \frac{t^2 \sh(t)+2 \sh(t) + 4t\ch(t)-0}{t}$ будет $6$.
А дальше они вроде чередоваться будут: 0, не 0, 0 не 0...

[paha]

maxmatem в сообщении #394813 писал(а):

Верно ли ,что $\[ \phi ^{(n)} (0) = 0 \]$

Ну, используйте ряд Маклорена для шинуса:

$\phi(t)=t^{n+2}+o(t^{n+2})$

Ясно, что первые $n+1$ производных в нуле нулевые

[Gortaur]

После того, как Вы убрали модуль косинуса (да и тогда тоже) - не очень понятно, зачем Вам доопределять функцию в нуле? Она непрерывна как произведение двух непрерывных функций - вот и все. Умножили степенную функцию на сумму двух экспонент и ждете интересных результатов?

[maxmatem]

Цитата:

Ясно, что первые $n+1$ производных в нуле нулевые

что -то я не понял..... Верно ли ,что $\[ \phi ^{(n)} (0) = 0 \]$
а то как-то не ясно ...я по формуле $\[ (y_1 y_2 )^{(n)} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k } y_1^{(n - k)} y_2^{(k)} \] $ проверял и как-раз получается $\[ \phi ^{(n)} (0) = 0 \]$

[paha]

maxmatem в сообщении #394889 писал(а):

что -то я не понял..... Верно ли ,что $\[ \phi ^{(n)} (0) = 0 \]$

что непонятного? $\phi(0)=\phi'(0)=\ldots=\phi^{(n+1)}(0)=0$

-- Пн янв 03, 2011 17:21:45 --

maxmatem в сообщении #394889 писал(а):

.я по формуле $\[ (y_1 y_2 )^{(n)} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k } y_1^{(n - k)} y_2^{(k)} \] $ проверял и как-раз получается

зачем Вам формула, если есть

paha в сообщении #394876 писал(а):

$\phi(t)=t^{n+2}+o(t^{n+2})$

[maxmatem]

Значит я был прав и $\[ \phi ^{(n)} (0) = 0 \]$,
а то в сообщении Legioner93

Цитата:

Например $(\sh(t)*t^2)''=t^2 \sh(t)+2 \sh(t) + 4t\ch(t)$
И тогда предел $\phi'''(0)=\lim_{t \to 0} \frac{t^2 \sh(t)+2 \sh(t) + 4t\ch(t)-0}{t}$ будет $6$.

Меня это смутило, вот я и спрашивал верно ли?

-- Пн янв 03, 2011 18:24:18 --

paha
А как же сообщение Legioner93 ?

И эта формула мне очень нравится!

[paha]

maxmatem в сообщении #394891 писал(а):

Значит я был прав и $\[ \phi ^{(n)} (0) = 0 \]$,
а то в сообщении Legioner93
Цитата:
Например $(\sh(t)*t^2)''=t^2 \sh(t)+2 \sh(t) + 4t\ch(t)$
И тогда предел $\phi'''(0)=\lim_{t \to 0} \frac{t^2 \sh(t)+2 \sh(t) + 4t\ch(t)-0}{t}$ будет $6$.

Меня это смутило, вот я и спрашивал верно ли?

А что тут Вас смутило? В данном примере $n=1$, первая и вторая произодные ($n$-ая и $(n+1)$-ая) равны нулю, а третья ($(n+2)$-ая) уже не ноль

[maxmatem]

а как тогда понимать эту запись?

Цитата:

$\phi(0)=\phi'(0)=\ldots=\phi^{(n+1)}(0)=0$

-- Пн янв 03, 2011 18:31:11 --

т.е все производные нечётного порядка равны нулю?

[paha]

Что значит "запись"? Даные равенства справедливы для функции, определенной Вами:

maxmatem в сообщении #394813 писал(а):

$\[ \phi (t) = \left\{ \begin{gathered} t^{n + 1} \sh(t);\,\,\,t \ne 0,n \in N \hfill \\ 0;\,\,\,\,t = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$

(хотя, непонятно, почему бы просто не записать $\phi(t)=t^{n+1}\sh{t}$)

-- Пн янв 03, 2011 17:32:59 --

paha в сообщении #394890 писал(а):

что непонятного? $\phi(0)=\phi'(0)=\phi''(0)=\ldots=\phi^{(n+1)}(0)=0$

[maxmatem]

paha
Я запутался.... Мне нужно было чтобы $\[ \phi ^{(n)} (0) = 0 \]$, Мне кажется я просто не так понимаю смысл этой записи. Ведь она означает, что какое-бы $n$, мы не подставили , то производная этого порядка будет равна нулю. Но ведь Legioner93 привёл пример что при $n=3$ она неравна нулю.

[paha]

maxmatem в сообщении #394894 писал(а):

т.е все производные нечётного порядка равны нулю?

если Ваше исходное $n$ из определения функции четное (в т.ч. ноль), то все нечетные производные нулевые, если нечетное -- то все четные производные нулевые... в конце концов, это видно из формулы

$$ \phi(t)=t^{n+1}\sh{t}=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{t^{2k+n+2}}{(2k+1)!} $$

-- Пн янв 03, 2011 17:40:35 --

maxmatem в сообщении #394897 писал(а):

Я запутался.... Мне нужно было чтобы $\[ \phi ^{(n)} (0) = 0 \]$, Мне кажется я просто не так понимаю смысл этой записи. Ведь она означает, что какое-бы $n$, мы не подставили , то производная этого порядка будет равна нулю. Но ведь Legioner93 привёл пример что при $n=3$ она неравна нулю.

У Вас $n$ входит в определение функции $\phi$

[maxmatem]

paha
Да я всё в толк не возьму верно ли что $\[ \phi ^{(n)} (0) = 0 \]$. Почему же Legioner93
написал что не верно, а вы говорите верно.....

Цитата:

У Вас $n$ входит в определение функции $\phi$

и что?

[paha]

maxmatem в сообщении #394897 писал(а):

Я запутался....

чтобы не путаться, Вам с самого начала надо было обозначить функцию правильно, например так:

$$ \phi_n(t)=t^{n+1}\sh{t} $$

В этих обозначениях Legioner93 показал, что $\phi_1^{(3)}(0)\ne 0$

и уж кванторы пишите... вот я утверждаю, что $\forall n\in\{0,1,2\ldots\}$ и $\forall k\in\{0,1,\ldots, n+1\}$ справедливо $\phi_n^{(k)}(0)=0$

[maxmatem]

paha
я может чего не понимаю , но если так обозначить ф-ию то я запутался ещё больше. Я эту функцию из головы взял, что бы доказать что она является гладкой и $\[ \phi ^{(n)} (0) = 0 \]$. т.е я пытаюсь показать что $\[ \phi (t) \in C^\infty (R) \]$. Вот и пытаюсь.