Предел функции

[Руст]

Построить действительную функцию f(x), для которого при любых действительных a и b существует предел $\lim_{n\to \infty } f(a+nb) $, а предел $\lim_{x\to \infty } f(x) $ не существует.

[RIP]

Берем любую возрастающую неограниченную последовательность действительных чисел, линейно независимых над $\mathbb{Q}$, например, $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7},\sqrt{11},\ldots$. Характеристическая функция этой последовательности удовлетворяет условию.

Добавлено спустя 17 минут 7 секунд:

Кстати, вот хорошая задачка. Доказать, что числа $\sqrt{p_n}$, $p_n-$n-е простое число, линейно независимы над $\mathbb{Q}$. Мне неизвестно док-во, совсем не использующее теорию алгебраических чисел. Было б интересно послушать различные док-ва.

[Vadimjr]

По поводу линейной независимости над $\mathbb Q$. Питерцы дают эту задачку своим школьникам-олимпиадникам на лето после 8 класса кажется. Вряд ли дети уже знают теорию алгебраических чисел в этом возрасте. Наверняка решается по индукции по n

[RIP]

Я ужо придумал, как из решения убрать алгебраические числа. От них там требуется совсем чуть-чуть, но без знания них решение выглядит несколько "искусственным".