поточечная и равномерная сходимости характеристич. функций

[Eldar]

Доброго времени суток, помогите разобраться.
Задача: Доказать, что из поточечной сходимости последовательности характерестических функций следует их равномерная сходимость на любом конечном отрезке.
Соображения: Надо доказать что супремум по $t \in [a,b]$ выражения $|\varphi_n(t)-\varphi(t)| \to 0$, при $n \to \infty$. Известно, что поточечная сходимость х.ф. эквивалентна слабой сходимости функций распределения ($F_n\Rightarrow F\Leftrightarrow \forall t$ и $n \to \infty$ $\varphi_n(t) \to \varphi(t)$). Ещё $F_n\Rightarrow F\Leftrightarrow\int f(x)dF_n(x)\to\int f(x)dF(x)$ для любой непрерывной и ограниченной функции $f(x)$.
Далее пишу:
$\sup|\varphi_n(t)-\varphi(t)|=\sup|\int e^i^t^xdF_n(x)-\int e^i^t^xdF(x)|=\sup|\int (\cos tx+i\sin tx)dF_n(x)-\int (\cos tx+i\sin tx)dF(x)|\leqslant \sup|\int \cos txdF_n(x)-\int \cos txdF(x)|+i\sup|\int \sin txdF_n(x)-\int \sin txdF(x)|\to 0$
так как $\cos tx$ и $\sin tx$ непрерывная и ограниченая функция для $t\in [a,b]$
Является ли это доказательством равномерной сходимости последовательности х.ф.? Вроде как нет, только лишь поточечную доказал. А как тогда действовать? Может исходить из того, что любая х.ф. является равномерно непрерывной? Кстати, верно ли что из поточечной сходимости последовательности равномерно непрерывных функций следует их равномерная сходимость на любом конечном отрезке. И если верно, как это доказать? Ведь тогда это является доказательством исходного.

[moscwicz]

Eldar в сообщении #394496 писал(а):

Задача: Доказать, что из поточечной сходимости последовательности характерестических функций следует их сходимость на любом конечном отрезке.
Соображения: Надо доказать что супремум по $t \in [a,b]$ выражения $|\varphi_n(t)-\varphi(t)| \to 0$, при $n \to \infty$

если Вы хотите доказать, что из поточечной сходимости следует равномерная, то это неверно

[Eldar]

moscwicz в сообщении #394509 писал(а):

Eldar в сообщении #394496 писал(а):

Задача: Доказать, что из поточечной сходимости последовательности характерестических функций следует их сходимость на любом конечном отрезке.
Соображения: Надо доказать что супремум по $t \in [a,b]$ выражения $|\varphi_n(t)-\varphi(t)| \to 0$, при $n \to \infty$

если Вы хотите доказать, что из поточечной сходимости следует равномерная, то это неверно

Это верно в случае кончечного отрезка для х.ф. Взгляние пожалуйста на цепочку равенств/неравенства претендующую на доказательство. Почему это не доказательство равномерной сходимости на отрезке [a,b]?

[moscwicz]

А понятно о чем речь. Я Ваших выкладок не проверял, но возражения свои на всякий случай снимаю. Выглядит правдоподобно.

[--mS--]

Eldar в сообщении #394514 писал(а):

Взгляние пожалуйста на цепочку равенств/неравенства претендующую на доказательство. Почему это не доказательство равномерной сходимости на отрезке [a,b]?

Неравенство, в правой части которого стоит комплексное число?
К тому же там нет доказательства, что, например, $\sup\limits_{t\in[a,b]} \left|\int \cos tx \,dF_n(x) - \int \cos tx \,dF(x)\right|$ стремится к нулю. При каждом $t$ стремится, да.

[Eldar]

--mS-- в сообщении #394536 писал(а):

Неравенство, в правой части которого стоит комплексное число?

ну если его на 0 помножить, то 0 будет

--mS-- в сообщении #394536 писал(а):

К тому же там нет доказательства, что, например, $\sup\limits_{t\in[a,b]} \left|\int \cos tx \,dF_n(x) - \int \cos tx \,dF(x)\right|$ стремится к нулю. При каждом $t$ стремится, да.

Поэтому я и написал, что только лишь поточечную.
Верно ли что из поточечной сходимости последовательности равномерно непрерывных функций следует их равномерная сходимость на любом конечном отрезке? И как всё же доказывать?

[sup]

Прежде всего, неплохо бы свести интегралы к конечному промежутку (по $x$). Ну а потом, рассмотреть некое конечное, но достаточно "плотное" множество точек $\{t_k\},k = \overline {1,n}$. На этом множестве сходимость, естественно, равномерная (в силу его конечности). Осталось это свойство распространить на все $t \in [a,b]$.

[--mS--]

E. Lukacs, Characteristic Functions. Следствие 1 к теореме непрерывности 3.6.1.

[Eldar]

Большое спасибо за книгу. Вроде во всём разобрался кроме конца 56 и начала 57ой страниц, а именно почему $|\int\limits_{x_k_-_1}^{x_k} (e^i^t^x^_k$$-e^i^t^x)dF_n(x)|\leqslant mT\int\limits_{x_k_-_1}^{x_k} dF_n(x)$, где $|t|\leq T$ и $m=max(x_k-x_k_-_1)$ и $|\int\limits_{a}^{b} e^i^t^x dF_n(x)-\int\limits_{a}^{b} e^i^t^x dF(x)|\leqslant\sum\limits_{k=1}^{N} |\int\limits_{x_k_-_1}^{x_k} dF_n(x)-\int\limits_{x_k_-_1}^{x_k} dF(x)|+2\varepsilon$?

[--mS--]

Eldar в сообщении #394601 писал(а):

Большое спасибо за книгу. Вроде во всём разобрался кроме конца 56 и начала 57ой страниц, а именно почему $|\int\limits_{x_k_-_1}^{x_k} (e^i^t^x^_k$$-e^i^t^x)dF_n(x)|\leqslant mT\int\limits_{x_k_-_1}^{x_k} dF_n(x)$, где $|t|\leq T$ и $m=max(x_k-x_k_-_1)$

Вынести $e^{itx_k}$ за интеграл и воспользоваться неравенством: $|e^\beta -1|\leq |\beta|$ при $\mathrm{Re}\, \beta \leq 0$.

-- Пн янв 03, 2011 00:53:38 --

Eldar в сообщении #394601 писал(а):

и $|\int\limits_{a}^{b} e^i^t^x dF_n(x)-\int\limits_{a}^{b} e^i^t^x dF(x)|\leqslant\sum\limits_{k=1}^{N} |\int\limits_{x_k_-_1}^{x_k} dF_n(x)-\int\limits_{x_k_-_1}^{x_k} dF(x)|+2\varepsilon$?

Это - то, что получилось из предпоследнего неравенства на стр. 56 после того, как последнее слагаемое в его правой части оценили двумя эпсилон благодаря последнему неравенству на стр. 56, а в первом слагаемом в его правой части вынесли $|e^{itx_k}|=1$ за интегралы.



З.Ы. Господа сочинители монографий! Не экономьте на нумерации выносных формул

[Eldar]

Ещё раз благодарю. Ночью как-то туго соображается но вроде разобрался.