Минимальный многочлен.

[Imperator]

Найти минимальный многочлен элемента $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ над полем $\mathbb{Q}$, то есть найти многочлен минимальной степени с коэффициентами из поля $\mathbb{Q}$ такой,
что $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ является его корнем.

[maxal]

Записать $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$, выразить отсюда $\sqrt{2}$ через $x$ и $\sqrt{3}$, возвести в квадрат, затем выразить $\sqrt{3}$ как многочлен от $x$ и еще раз возвести в квадрат. Получится искомый многочлен 4-й степени.

[Руст]

$(x-\sqrt 2 -\sqrt 3 )(x-\sqrt 2 +\sqrt 3)(x+\sqrt 2 -\sqrt 3)(x+\sqrt 2 +\sqrt 3 )=x^4-10x^2+1$

[Brukvalub]

Еще бы доказать, что этот многочлен-минимальный.

[maxal]

Достаточно доказать, что полином неприводим над $\mathbb{Q}$. Линейных делителей у него нет, а из разложения $x^4-10x^2+1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ следует, что $a+c=0$ и $ad+bc=0$ и $bd=1$, откуда $x^4-10x^2+1=(x^2+ax\pm 1)(x^2-ax\pm 1)=x^4+(\pm 2 - a^2)x^2+1,$ что не имеет решений для $a$ в рациональных числах.

[Brukvalub]

maxal писал(а):

...$x^4-10x^2+1=(x^2+ax+1)(x^2-ax+1)=x^2+(2-a^2)x^2+1,$ что не имеет решений для $a$ в рациональных числах.

Наверное, (x^2+ax+1)(x^2-ax+1)=x^4+(2-a^2)x^2+1,$ ?

[maxal]

Конечно, исправлено.

[ИСН]

Или другими словами: как намекнул своим решением Руст, \sqrt{2}+\sqrt{3} имеет четыре разных значения, и если одно из них является корнем многочлена с рац. коэфф., то и остальные обязаны, а значит, степень меньше четвёртой не выйдет никак.