Простая задача по теории вероятностей (монета, 400 бросаний)

[fixinf]

Задача: Монетка подбрасывается 400 раз. При каких $d$ вероятность того, что кол-во орлов отклонится от 200 не более чем на $d$, превосходит 80%

Мой ход решения:
Для таких испытаний мат.ожидание кол-ва орлов $Mx = 200$ , дисперсия $Dx = 100$.
Далее, вероятность того, что число орлов $X$ попадает в [200-d,200+d] $p(X \in [200-d,200+d]) =1 - p(X \notin [200-d,200+d])$.
Неравенство Чебышева: $p(\left|X-M\right|\geqslant d) \leqslant \frac D {d^2}$, откуда

$1 - p(\left|X-M\right| \geqslant d) = p(\left|X-M\right| \leqslant d) \geqslant 1 - \frac D {d^2} \Rightarrow 1-\frac D {d^2} > \frac 4 5 \Rightarrow d > \sqrt {500} = 22,3$, то есть целочисленное $d \geqslant 23$

Но непосредственное вычисление вероятности по схеме Бернулли на компе даёт, что условие выполняется при $d > 11$. Другие оценки тоже дают ответ в два раза меньше. Подскажите, где я неправ?

[--mS--]

fixinf в сообщении #393521 писал(а):

Но непосредственное вычисление вероятности по схеме Бернулли на компе даёт, что условие выполняется при $d > 11$. Другие оценки тоже дают ответ в два раза меньше. Подскажите, где я неправ?

Неравенство Чебышёва даёт лишь грубую оценку вероятности. Более точный ответ ($d\geq 13$) получится, если использовать центральную предельную теорему (интегральную теорему Муавра - Лапласа).

[Dan B-Yallay]

По таблице нормального распределения, как раз получается $d \geqslant 12$ с копейками.

[--mS--]

Dan B-Yallay в сообщении #393587 писал(а):

По таблице нормального распределения, как раз получается $d \geqslant 12$ с копейками.

Больше либо равно $12,81551566$ - это в точности и есть "$\geqslant 13$", а не 12.

[Gortaur]

А какие "другие оценки" Вы использовали?
2Dan B-Yallay, --mS--
Вы напрямую брали таблицу нормального распределения или оценивали еще и погрешность между распределением суммы 400 сл. величин и нормальным?

[Dan B-Yallay]

--mS-- в сообщении #393590 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #393587 писал(а):

По таблице нормального распределения, как раз получается $d \geqslant 12$ с копейками.

Больше либо равно $12,81551566$ - это в точности и есть "$\geqslant 13$", а не 12.

копейки = 0,81551566. Неудачный термин, я согласен.

Gortaur

Я взял без поправки. Не думаю, что при выборке 400 поправка внесет значительно изменение.

[--mS--]

Gortaur в сообщении #393595 писал(а):

Вы напрямую брали таблицу нормального распределения или оценивали еще и погрешность между распределением суммы 400 сл. величин и нормальным?

Вообще-то написано, "по ЦПТ". Какой смысл в даном случае оценивать (снова грубо) погрешность в ней, если ответ можно посчитать явным образом через тот же Excel? См. исходный вопрос ТС.

[fixinf]

Gortaur
Оценивал глупо и грубо - разложил функцию ошибок в ряд Тейлора, получил $d > 11 $. Про существование таблиц я даже не знал, это вообще первая задача по теории вероятностей со школьных времён, которую я решаю, если не считать статистической физики.
--mS--
Прямое суммирование и правда даёт $d \geqslant 13$, извиняюсь за ошибку.

Единственные ли это способы её решить (верно решить )? Ну то есть воспользоваться значениями для нормального распределения или посчитать напрямую.
В любом случае, всем большое спасибо.

[Gortaur]

Dan B-Yallay
--mS--
Просто здесь столкнулся с тем, что нужно оценивать вероятность или скажем такое $d$ как в задаче - но при это по крайней мере хоть точно говорить, оценка снищу или сверху. Применение ф.р. нормального распределения лишь говорит о том, что реальное $d$ "где-то рядом" - поэтому и задал такой вопрос.

Метод который использовал ТС хоть и грубоват ($d\leq 23$), но тем не менее ответ является точным. А именно - мы считаем как ТС, получаем ответ $d\leq 23$ - и точно знаем, что этого достаточно для 80% вероятности. Допустим мы не можем посчитать точный ответ по биноминальному или другому распределению - иначе смысла в оценках не очень много - тогда мы и не знаем, что реальный ответ в два раза меньше. Когда же мы считаем при помощи ЦПТ мы получаем $d\leq 13$ - но на этот раз не знаем, действительно ли данная оценка верна или нет (при условии опять же что напрямую ответ мы проверить не можем). Так что я за метод ТС

[fixinf]

Gortaur в сообщении #393699 писал(а):

Dan B-Yallay
--mS--
Применение ф.р. нормального распределения лишь говорит о том, что реальное $d$ "где-то рядом" - поэтому и задал такой вопрос.

А мне казалось, что, если не думать о том, что $N = 400$ - конечное, то решение относительно $d$ неравенства $\frac 1 {\sqrt{2 \pi D}} \int\limits_{200-d} ^{200+d} e^{\frac {-(x-M)^2} {2 D}} dx = \frac 2 {\sqrt{\pi}} \int\limits_{0}^{\frac d {\sqrt{2 D}}} e^{-t^2} dt \geq 0.8$ будет наиболее точным, будь только возможность его хорошо решить.

А также, по-моему, в вашем посте везде $\geq$ должно стоять.

По мне так решение сводится к трём вариантам:
1. Самый лучший - счёт на машине. Просуммируйте, будет хорошо.
2. Если нет возможности посчитать - взять таблицы интеграла распределения или решить неравенство выше каким-нибудь шаманским способом. Тоже хорошо, даст такой же ответ, как и в п. 1.
3. Использовать неравенство Чебышева. Даст ответ, сильно больший, чем есть на самом деле ( для ответа с использованием неравенства Чебышева вероятность равна уже $0.97$ вместо $ 0.8$ ), но зато гарантирует правильность ответа. Применять только если невозможно применить вышеупомянутые два.

Я так понимаю, других нет?

[--mS--]

fixinf в сообщении #393760 писал(а):

Я так понимаю, других нет?

Других скорее нет, чем есть. Даже если думать о том, что 400 - конечное, указанный Вами интеграл отличается от истинной вероятности на величину не более $2C\dfrac{p^2+q^2}{\sqrt{npq}}$, где $p$ и $q$ суть вероятности удачи и неудачи, а про постоянную $C$ на сегодня известно $0,4097\ldots \leqslant C \leqslant 0,7655$ (кто меньше?). Неравенство Берри - Эссеена.
Так что грубо можно добавить к $0,8$ оценку погрешности $\Delta\leqslant 0,07655$ и получить, что при $d\geqslant 16$ искомая вероятность превысит $0,8$ с гарантией.

[Gortaur]

Во-во, а говорили $d\leq 13$ - а потом в аэропортах самолеты стоят... а истоки они вот тут.

[--mS--]

Gortaur в сообщении #393932 писал(а):

Во-во, а говорили $d\leq 13$ - а потом в аэропортах самолеты стоят... а истоки они вот тут.

Вы "меньше" от "больше" отличаете? А то в который раз уже нет. И верный ответ от полученного с помощью грубой оценки? $d \geqslant 13$ - это точный ответ, который совпадает с ответом, полученным по ЦПТ, и демонстрирует грубость оценок Берри - Эссеена в данном случае.

[fixinf]

Хоть в оценках Берри- Эссеена я и не разобрался, но, в общем, ситуация для меня сильно прояснилась, спасибо всем за дельные советы.
Решение в итоге буду подгонять под $d \geq 13$.

P.S. Всех наступившим-таки Новым Годом