Отображение функции Жуковского

[Xoma]

С праздником всех.Помогите пожалуйста разобраться как отображать области с помощью функции Жуковского:
$w=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})$
Никак не пойму общий принцип,алгоритм
Вот с дробно-линейными я выражал u и v через x и y потом подставлял границы,и там всё получалось
а вот здесь выражаем z получается $z=w+\sqrt{w^2-1}$ как здесь выделить мнимую и действительную часть??или этого не нужно делать?
Объясните пожалуйста вот на примере:вот надо отобразить верхнюю полуплоскость $Im(z)>0$
В Боярчуке написано что лучше функцию записать в виде:
$u=\frac{1}{2}(r+\frac{1}{r})cos\varphi$
$v=\frac{1}{2}(r+\frac{1}{r})sin\varphi$ а что с этим делать потом что куда подставлять??Объясните пожалуйста по-подробнее
И нужно ли так делать всегда?выражать u и v.Какие еще есть способы?Никак не могу разобраться с этой темой
Заранее благодарю

[paha]

Xoma в сообщении #394303 писал(а):

Вот с дробно-линейными я выражал u и v через x и y потом подставлял границы,и там всё получалось
а вот здесь выражаем z получается $z=w+\sqrt{w^2-1}$ как здесь выделить мнимую и действительную часть??или этого не нужно делать?

ну так и напишите

$$ u+iv=\frac{1}{2}\left(x+\frac{x}{x^2+y^2} \right)+i\frac{1}{2}\left(y-\frac{y}{x^2+y^2} \right), $$

или в полярных координатах... неважно

Посмотрите куда переходят окружности $|z|=C$

[Xoma]

Вы наверное не поняли,как выразить x и y через u и v? чтобы потом просто подставить границу y=0

[12d3]

paha в сообщении #394305 писал(а):

или в полярных координатах... неважно

В полярных координатах проще понять, что окружности перейдут в эллипсы.

Xoma в сообщении #394303 писал(а):

$u=\frac{1}{2}(r+\frac{1}{r})cos\varphi$
$v=\frac{1}{2}(r+\frac{1}{r})sin\varphi$

Это не что иное, как уравнение эллипса с полуосями $\frac12\left(r+\frac1r\right)$ и $\frac12\left| r-\frac1r \right|$

Xoma в сообщении #394307 писал(а):

Вы наверное не поняли,как выразить x и y через u и v? чтобы потом просто подставить границу y=0

В систему
$u=u(x,y)$
$v=v(x,y)$
подставляете свой $y$ и исключаете $x$

[Xoma]

А как верхнюю полуплоскость отобразить?Почему там с разрезами по оси u?как они получили эти разрезы??
там нужно в полярных координатах выражать?
Вообще в каких случаях выражают через полярные а когда просто??

[12d3]

Xoma в сообщении #394310 писал(а):

там нужно в полярных координатах выражать?

Тут удобнее через полярные. Посмотрите, куда переходят полуокружности с $r>1,$ $r=1$ и $r<1$ соответственно.

Xoma в сообщении #394310 писал(а):

Вообще в каких случаях выражают через полярные а когда просто??

Исключительно вопрос удобства. В каждому случае индивидуально.

[Xoma]

Ну вот хотя бы в случаев с полосами и с окружностями(полуокружностями),как удобнее?

[paha]

12d3 в сообщении #394308 писал(а):

Xoma в сообщении #394303 писал(а):
$u=\frac{1}{2}(r+\frac{1}{r})cos\varphi$
$v=\frac{1}{2}(r+\frac{1}{r})sin\varphi$

Это не что иное, как уравнение эллипса с полуосями $\frac12\left(r+\frac1r\right)$ и $\frac12\left| r-\frac1r \right|$

нет... там знак перепутан

-- Сб янв 01, 2011 15:30:46 --

Xoma в сообщении #394310 писал(а):

А как верхнюю полуплоскость отобразить?

ну, подставьте $y=0$ и посмотрите какая кривая $u(x),v(x)$ получится

[ewert]

Xoma в сообщении #394307 писал(а):

Вы наверное не поняли,как выразить x и y через u и v? чтобы потом просто подставить границу y=0

Вот тупо и подставьте $y=0$ -- получите $w=u+iv={1\over2}(x+{1\over x})$, откуда $v(x)\equiv0$ и $u(x)={1\over2}(x+{1\over x})$, это и есть уравнение границы.

Xoma в сообщении #394310 писал(а):

А как верхнюю полуплоскость отобразить?Почему там с разрезами по оси u?как они получили эти разрезы??

Вот по этому самому уравнению образа границы. Правая вещественная полуось переводится в промежуток $[1;+\infty)$, причём дважды: сначала этот промежуток получается как образ $x\in(0;1]$, а потом он же -- как образ $x\in[1;+\infty)$; это и будут берега разреза. Аналогично левая полуось переводится в разрез $(-\infty;-1]$. А поскольку никаких других точек образ вещественной оси не содержит -- образом верхней полуплоскости и будет вся плоскость с этими двумя разрезами.

[Xoma]

Так можно как-нибудь выразить x и y через u и v?
И как они получили разрезы от $(-\infty;-1) (1;+\infty)$ при отображении верхней полуплоскости

-- Сб янв 01, 2011 16:41:26 --

ewert,я вот не понимаю v=0 это прямая это понятно а $u(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})$-что это за уравнение как это изобразить геометрически?

[paha]

а насчет разрезов... разрезы проводятся там, у дифференциала

Xoma в сообщении #394317 писал(а):

$u(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})$-что это за уравнение как это изобразить геометрически?

постройте график функции $u(x)$... когда $x$ пробегает $(-\infty;0)$ значения дважды пробегают $(-\infty;-1]$

когда $x$ пробегает $(0;+\infty)$ значения дважды пробегают $[1;+\infty)$

[ewert]

Xoma в сообщении #394317 писал(а):

Так можно как-нибудь выразить x и y через u и v?

Можно. А зачем?... Вам ведь нужно именно наоборот.

[Xoma]

Ну x-это действительная часть заданной область y-мнимая, просто выражая x и y через u и v И подстовляя например границу y=0 получим уравнение для u и v.Разве так нельзя cделать?

-- Сб янв 01, 2011 17:04:21 --

Вот я не понимаю если правая вещественная полуось переводится в промежуток $[1;+\infty}$ то почему мы должны его вырезать??,объясните пожалуйста по-подробнее?

[paha]

Xoma в сообщении #394321 писал(а):

Вот я не понимаю если правая вещественная полуось переводится в промежуток $[1;+\infty}$ то почему мы должны его вырезать??,объясните пожалуйста по-подробнее?

Ну, ёлки-палки... Вы же смотрите на образ области $Im z>0$. Граница области не входит в область, поэтому образ границы не входит в образ области:))) А эти два луча -- в точности образ границы:

$$ \left\{\frac{1}{2}(z+1/z):\,Im z>0\right\}=\mathbb{C}\setminus\{\mbox{два луча}\} $$

-- Сб янв 01, 2011 16:21:21 --

или, что то же самое:
функция

Xoma в сообщении #394303 писал(а):

$z=w+\sqrt{w^2-1}$

голоморфна в комплексной плоскости с данными разрезами (ветвь корня выбирается согласно требованию $Im z>0$)

[Xoma]

аааа, вроде сообразил я просто не понял у меня вот на рисунке просто нарисована как бы верхняя полуплоскость а граница не понятно просто прямая и уравнения описывающее область тоже нету ,Imz>0 это я сам просто так думаю там должно быть