Решение системы уравнений.

[Руст]

Пусть $x_0>0,y_0>0$ положительные корни системы уравнений:
$x^2+xy+x=1,y^2+xy+x+y=1.$
Докажите, что $\frac{1}{x_0}+\frac{1}{y_0}=8cos^3\frac{\pi}{7}.$

[maxal]

Тут можно поручить все преобразования маплу:

> Groebner[Basis]([z*x*y-x-y,x^2+x*y+x-1,y^2+x*y+x+y-1],plex(x,y,z));
[z^3 - 11z + 1 - 4z^2, 13y - 2z^2 + 5z + 36, 13x - 14z - 28 + 3z^2]

Откуда следует, что $z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ является корнем уравнения $z^3 - 4 z^2 - 11 z + 1 = 0,$ и $y=\frac{2z^2 - 5z - 36}{13},$ $x = \frac{- 3z^2 + 14z + 28}{13}$
У уравнения для $z$ два положительных корня. Один корень $z_1=8\cos^3\left(\frac{3\pi}{7}\right),$ а другой

$$z_2=\frac{4}{3} + \frac{14}{3} \cos\frac{\arccos(\frac{17}{98})}{3}= 8\cos^3\left(\frac{\pi}{7}\right)\approx 5.85.$$

Для второго корня получаем $x_2\approx 0.55$ и $y_2\approx 0.25$.

[незваный гость]

Если из первого уравнения, умноженного на $y$, вычесть второе, умноженное на $x$, получим $y = x-x^2$. Отсюда (подставляя в первое уравнение) имеем: $2x^2+x = 1 + x^3$. У этого уравнения 3 вещественных корня, но условию $x > 0, y > 0$ удовлетворяет только один.

[maxal]

Хмм. Интересно получается. Корню $z_1=8\cos^3\left(\frac{3\pi}{7}\right)$ соответствует отрицательное значение $y_1\approx -2.80.$
Что-то не так в условии.

[незваный гость]

maxal писал(а):

Корню $z_1=8\cos^3\left(\frac{3\pi}{7}\right)$ соответствует отрицательное значение $y_1\approx -2.80.$

Все так. Просто у Руста в условии $z=8\cos^3\left(\frac{\pi}{7}\right)$, что соответствует $z_2$.

[maxal]

Да! Все верно. Я тройку не туда вкатил.
Итак,
$z_1 = 8\cos^3\left(\frac{3\pi}{7}\right) \approx 0.088146$
$z_2 = 8\cos^3\left(\frac{\pi}{7}\right) \approx 5.850855$
Первому корню соответствует отрицательный $y_1$, второму положительные $x_2$ и $y_2$ как было указано выше.

Добавлено спустя 6 минут 33 секунды:

Кстати, третий (отрицательный) корень - это
$z_2 = 8\cos^3\left(\frac{5\pi}{7}\right) \approx -1.939001.$