roots of an equation.

[man111]

If $x^5+5\lambda x^4+(\lambda a-4)x^2-(8\lambda+3)x+\lambda a-2=0$. Then the value of $a$ for which the Given equation has one root Independent of $\lambda$.

[ShMaxG]

(Что у меня получилось...)

$\[\begin{gathered} {x^5} + 5\lambda {x^4} + \left( {\lambda a - 4} \right){x^2} - \left( {8\lambda + 3} \right)x + \lambda a - 2 = 0 \hfill \\ \lambda \left( {5{x^4} + a{x^2} - 8x + a} \right) + \left( {{x^5} - 4{x^2} - 3x - 2} \right) = 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 5{x^4} + a{x^2} - 8x + a = 0 \hfill \\ {x^5} - 4{x^2} - 3x - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]$

Из второго уравнения находим икс (надо "заметить", что $\[{x^5} - 4{x^2} - 3x - 2 = \left( {{x^2} + x + 2} \right)\left( {{x^3} - {x^2} - x - 1} \right)\]$
). И подставляем его в первое уравнение, откуда находим $a$... Вообще как-то сложно и не идейно у меня получилось

$\[x = \frac{4} {{9\sqrt[3]{{\frac{{\sqrt {11} \sqrt {27} }} {{27}} + \frac{{19}} {{27}}}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{\sqrt {11} \sqrt {27} }} {{27}} + \frac{{19}} {{27}}}} + \frac{1} {3}\]$ -- единственный вещественный корень.

$\[x = - \frac{1} {2} - i\frac{{\sqrt 7 }} {2}\]$ -- один из мнимых...