Алгебры и семимерная сфера

[Bulinator]

paha в сообщении #393539 писал(а):

Пусть на $S^{n}$ задана структура группы. Существует структура ассоциативной алгебры с делением на $\mathbb{R}^{n+1}$.

paha
можете поподробнее прокомментировать это предложение?
Я правильно понимаю, что под структурой группы вы понимаете закон умножения, существование единичного элемента и ассоциативность? В этом предложении Вы заключаете, что если каждой точке $S^n$ поставить в соответствие элемент некой группы, то на $\mathbb{R}^{n+1}$ можно построить ее представление?

-- Чт дек 30, 2010 00:29:01 --

paha в сообщении #393554 писал(а):

:shock: а что такое поле $\mathbb{R}^8$?

Забудьте.. Ляпнул...

[paha]

Bulinator в сообщении #393562 писал(а):

Я правильно понимаю, что под структурой группы вы понимаете закон умножения, существование единичного элемента и ассоциативность?

я понимаю то же, что и все... структура гладкой группы на многообразии $M$ это такой элемент $e\in M$ и такие гладкие отображения $i:M\to M$, $p:M\times M\to M$, что $\forall m,a,b\in M$

$$ p(m,e)=m,\quad p(m,i(m))=e,\quad p(m,p(a,b))=p(p(m,a),b) $$

Bulinator в сообщении #393562 писал(а):

В этом предложении Вы заключаете, что если каждой точке $S^n$ поставить в соответствие элемент некой группы, то на $\mathbb{R}^{n+1}$ можно построить ее представление?

Я говорю, что если $M$ как выше диффеоморфно $S^n$, то на $\mathbb{R}^{n+1}$ (далее по тексту... про представления я вообще не заикался)

[Bulinator]

Ну да, т.е. то, что я сказал но на строгом и, кстати, жутком и унылом математическом языке...

(Оффтоп)

Так-с. Прейдем к следующему предложению

[paha]

под "существует" я понимал "можно построить"... причем обратимость не требуется -- только единица и ассоциативность

[Bulinator]

Понял понял... Еще раз, спасибо!

(Оффтоп)

Оказывается, математики все знают. Только понять, что они говорят очень сложно.

[Munin]

(Оффтоп)

Bulinator в сообщении #393575 писал(а):

Оказывается, математики все знают. Только понять, что они говорят очень сложно.

Именно из-за того, что они знают всё, и не знают, чего не знают остальные.

[Bulinator]

Все таки решил выписать все явно.
Во первых, помогает все усвоить, во вторых, может где-нибудь да и совру а меня исправят. И конечно в третьих- пишу в назидание потомкам или просто выпендриваюсь .

Итак, пусть на $S^n$ задана групповая структура всмысле сообщения #393567. В $\mathbb{R}^{n+1}$ введем алгебру следующим образом:
Для любых двух элементов $x,y\in \mathbb{R}^{n+1}$ определено все(сложение, умножение на число и.т.д.), кроме умножения. Введем норму $|x|=\sqrt{x_i x_i},\quad i=1,\ldots,n+1$. Умножение для любых $x,y\neq 0$ можно ввести спроецировав $x$ и $y$ на сферу $a= x/|x|$, $b=y/|y|$, воспользовавшись законом умножения группы, получив элемент $c=p(a,b)$ и умножив его на $|x||y|$. Обратный элемент $x$ находится просто: $x^{-1}=a^{-1}|x|$. Очевидно, что такой закон умножения ассоциативен. Эта алгебра, очевидно является алгеброй с делением. Действительно, пусть
$xy=z$. Тогда умножив справа на $y^{-1}$ получим $x$. Понятно, что
$|xy|=|x||y|\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$.
Отсюда в частности следует, что $i$-я координата произведения $(xy)_i$ является чем-то квадратичным по $x$ и $y$. Или в открытом виде
$(xy)_i=x_j \gamma^j_{ik}y^k$ . (пространство евклидово так что про индекс сверху сниху париться не надо).
Далее, из условия (1)получаем
$(x_ix_i)(y_jy_j)=(x_j \gamma^j_{ik}y^k)^(x_l \gamma^l_{im}y^m)$
Далее все согласно доказательству Экмана теоремы Гурвица, которое прекрасно изложено в книге Херстейна, "Некоммутативные кольца".
Возможные значения для $n=0,1,3,7$.(параметр тонкой структуры-137 или тройка-3, семерка- 7 туз- 1 )

[paha]

Bulinator в сообщении #393648 писал(а):

Очевидно, что такой закон умножения ассоциативен. Эта алгебра

а дистрибутивность относительно сложения?

[Bulinator]

paha в сообщении #393649 писал(а):

а дистрибутивность относительно сложения?

А она не нужна вроде. Т.е. для доказательства утверждения этой недоалгебры вполне достаточно.

[paha]

Bulinator в сообщении #393653 писал(а):

А она не нужна вроде.

в теореме Гурвица говорится об алгебрах... и формула

Bulinator в сообщении #393648 писал(а):

$(xy)_i=x_j \gamma^j_{ik}y^k$

неверна

[Bulinator]

paha в сообщении #393655 писал(а):

неверна

почему? Это разве не самый общий вид квадратичной формы по $x$ и $y$?

paha в сообщении #393655 писал(а):

в теореме Гурвица говорится об алгебрах...

А разве теорема Гурвица не утверждает, что равенство

Bulinator в сообщении #393648 писал(а):

$(x_ix_i)(y_jy_j)=(x_j \gamma^j_{ik}y^k)^(x_l \gamma^l_{im}y^m)\quad i,j,k,l,m=1,\ldots, n$

возможно только для случаев $n=1,2,4,8$?

[Bulinator]

И кстати, с помощью этой формулы и доказывается дистрибутивность.

-- Чт дек 30, 2010 12:02:18 --

Bulinator в сообщении #393656 писал(а):

Это разве не самый общий вид квадратичной формы по $x$ и $y$?

Т.е. я еще требую, чтобы ее квадрат был пропорцианален $|x|^2|y|^2$.

[paha]

Bulinator в сообщении #393648 писал(а):

Понятно, что
$|xy|=|x||y|\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$.
Отсюда в частности следует, что $i$-я координата произведения $(xy)_i$ является чем-то квадратичным по $x$ и $y$. Или в открытом виде
$(xy)_i=x_j \gamma^j_{ik}y^k$

Вам это "следует" очевидно, а мне нет:(

почему

$$ |x+y||z|\left(\frac{x+y}{|x+y|}\cdot\frac{z}{|z|}\right)= |x||z|\left(\frac{x}{|x|}\cdot\frac{z}{|z|}\right)+|y||z|\left(\frac{y}{|y|}\cdot\frac{z}{|z|}\right)$$

[Bulinator]

Давайте так
$|xy|=|x||y|\left|\frac{x}{|x|}\cdot\frac{y}{|y|}\right|$
Т.к. выражение в скобках по определению находится на сфере, то обязательно ее норма равна 1.

-- Чт дек 30, 2010 12:13:41 --

О дистибутивности пока не заикаемся. Вот когда сделаем заключение о квадратичной форме умножения, сразу же и дистрибутивность появится.

[paha]

Bulinator в сообщении #393692 писал(а):

Вот когда сделаем заключение о квадратичной форме умножения, сразу же и дистрибутивность появится.

так это равносильно:)))
Так Откуда дровишк квадратичность билинейность?